V matematice a fyzice nejsou výjimkou situace, kdy řešení problému, jehož praktický význam se někomu může jevit i sporným, vede ke vzniku rozsáhlé obecné teorie či k rozvoji nové účinné metodiky. Je tomu tak i v případě problému brachistochrony, který sehrál klíčovou roli při vzniku variačního počtu. Lze jej formulovat takto: Jaký tvar má mít hladká skluzavka spojující dva zadané body ležící ve svislé rovině, aby tělísko volně vypuštěné z výše položeného z nich sklouzlo vlivem tíže do druhého bodu v nejkratším možném čase? V první části tohoto článku se věnujeme historickým aspektů problému brachistochrony a komentujeme jednotlivá významnější řešení, která byla v průběhu doby předložena. Druhá část sahá do současnosti. Uvádíme v ní tři téměř elementární a navzájem zcela odlišné způsoby přístupu k nalezení brachistochrony: fyzikální, geometrický a variační. Příspěvek věnujeme k významnému životnímu výročí profesoru RNDr. Martinu Černohorskému, CSc., učiteli několika generací brněnských fyziků, který se ve svém vědeckém díle zabýval na mimořádné fyzikální úrovni mj. i historií Newtonovy mechaniky., Josef Slavíček, Jana Musilová., and Obsahuje seznam odkazů a literatury
In this paper we establish a continuity result for local minimizers of some quasilinear functionals that satisfy degenerate elliptic bounds. The non-negative function which measures the degree of degeneracy is assumed to be exponentially integrable. The minimizers are shown to have a modulus of continuity controlled by $\log \log (1/|x|)^{-1}$. Our proof adapts ideas developed for solutions of degenerate elliptic equations by J. Onninen, X. Zhong: Continuity of solutions of linear, degenerate elliptic equations, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 6 (2007), 103–116.
Říká se, že jedním ze znaků správné fyzikální teorie je její krása. Máme-li na mysli estetičnost matematickou, patří variační počet k matematickým metodám, které naplňují tento požadavek vrchovatě. Je také pravda, že správné (zkušeností a experimentem prověřené) fyzikální teorie bývají variační, tj. odvoditelné z variačního principu: Klasická mechanika, relativistická mechanika, kvantová mechanika, klasická elektrodynamika... Na zcela elementární úrovni předkládáme základní myšlenku a klasické postupy variačního počtu, s ukázkami použití v geometrii a fyzice. Zaměříme se pouze na variační princip prvního řádu, s důrazem na mechaniku, kde na rozdíl od teorie pole závisí řešené úlohy pouze na jedné nezávisle proměnné, ve fyzice obvykle na čase., It is said that one of the characteristic features of physical theories is their beauty. Having in mind the "mathematical aesthetic appearance" one can say that the calculus of variations highly fulfils this requirement! It is also well known that correct physical theories (those verified experimentally), are often variational, i.e. based on a variational principle: classical mechanics, relativistic mechanics, quantum mechanics, classical electrodynamics, etc. We present, at a very basic level, the fundamental ideas and classical approaches of the calculus of variations, including examples of their use in geometry and physics. We focus on the first order variational principle, emphasizing mechanics, because contrary to field theories, the variational problems in mechanics depend on one independent variable only (usually time in physics)., Jana Musilová, Pavla Musilová., and Obsahuje bibliografii