PML View

vesm9303_056

a-layerPDT/pml/amw/etest/vesm9303_056.a.gz
m-layerPDT/pml/amw/etest/vesm9303_056.m.gz
w-layerPDT/pml/amw/etest/vesm9303_056.w.gz
treex-layerPDT/treex/amw/etest/vesm9303_056.treex.gz

s-1 Otevření neeukleidovských geometrických světů

s-2 /Čtvrté rozpravy s geometrií, 3. část/

s-3 PETR VOPĚNKA

s-4 V dalším se tedy i my budeme opírat o tvrzení, že je-li ABC trojúhelník a vchází-li do něho přímka b vrcholem A, pak protíná stranu BC, a podobně i o tvrzení, že protíná-li přímka b stranu BC a neprochází-li vrcholem A, pak protíná buď stranu AB, nebo stranu AC, aniž bychom měli špatné svědomí, že tím provádíme cosi nedovoleného.

s-5 Buď Q nějaký bod ležící na přímce q, který je různý od bodu P.

s-6 Úsečku Q rozlomíme na dvě části.

s-7 První z nich je geometrickým místem bodů ležících na této úsečce, jejichž spojnice s bodem P nikdy neprotnou přímku p.

s-8 Druhá část je geometrickým místem bodů ležících na této úsečce, jejichž spojnice s bodem P protnou přímku p.

s-9 Leží-li bod X v první z těchto částí a leží-li bod Y na úsečce XQ, pak zřejmě i bod Y leží v první z těchto částí.

s-10 Podobně leží-li bod X ve druhé z těchto částí a leží-li bod Y na úsečce X , pak zřejmě i bod Y leží ve druhé z těchto částí.

s-11 Rozdělení úsečky P na tyto dvě části je tedy vskutku jejím rozlomením.

s-12 Buď S bod v němž k tomuto rozlomení dochází (viz obr. 9).

s-13 Přímka PS nikdy neprotne přímku p.

s-14 Kdyby ji totiž protla v nějakém bodě A, pak též přímka PB, kde bod B leží na polopřímce P za bodem A, protíná přímku p, ale zároveň i úsečku SQ v nějakém jejím vnitřním bodě C.

s-15 Avšak vnitřní body úsečky SQ náležejí do první shora uvedených částí, na něž jsme rozlomili úsečku P, a tedy spojnice bodů PC nemůže protnout přímku p, což je spor.

s-16 Ze všech přímek, které procházejí bodem P a neprotínají přímku p, svírá tedy přímka PS nejmenší úhel s přímkou P P .

s-17 Přímku PS nazýváme souběžkou přímky p v bodě P.

s-18 Druhou souběžkou přímky p v bodě P je pak přímka souměrná s přímkou PS podle osy P P .

s-19 Směr od bodu P k bodu S na přímce PS nazýváme směrem souběžnosti souběžky PS s přímkou p v bodě P.

s-20 Úhel SP nazýváme úhlem souběžnosti bodu P s přímkou p.

s-21 Zřejmě tento úhel je vždy ostrý.

s-22 Tvrzení 1.

s-23 Buď s souběžka p v bodě P, buď Q bod ležící na přímce s.

s-24 Potom přímka s je souběžkou přímky p v bodě Q a její směr souběžnosti s přímkou p je v bodě Q týž jako v bodě P.

s-25 Důkaz.

s-26 Buďte P , Q paty kolmic spuštěných z bodů P, Q na přímku p.

s-27 Buď q souběžka přímky p v bodě Q, jejíž směr souběžnosti míří z bodu Q do téže poloroviny určené přímkou Q jako směr souběžnosti přímky s v bodě P.

s-28 Předpokládejme, že přímky s, q jsou různé.

s-29 Na přímce q zvolme bod A různý od bodu Q tak, aby směr od bodu Q k bodu A mířil do téže poloroviny určené přímkou Q jako směr od bodu P k bodu Q (viz obr. 10, 11).

s-30 Přímka PA svírá s přímkou P P úhel menší, než je úhel souběžnosti bodu P s přímkou p, a protne tedy přímku p v bodě B.

s-31 Odtud je patrno, že přímka q protne stranu Q trojúhelníku A, což je spor.

s-32 Jakmile jsme dokázali toto tvrzení, nemusíme již dodávat, v kterém svém bodě je přímka s souběžkou přímky p a v kterém bodě je míněn směr souběžnosti s přímkou p.

s-33 Tvrzení 2.

s-34 (a) Buďte p, q různé přímky, buď u přímka protínající přímku p v bodě P a přímku q v bodě Q, kde P, Q jsou různé body.

s-35 Nechť součet vnitřních úhlů, které svírají přímky p, q s přímkou u po její jedné straně je roven dvěma úhlům pravým.

s-36 Potom lze vytvořit společno kolmici přímek p, q.

s-37 (b) Buď q souběžka přímky p.

s-38 Potom přímky p, q nemohou mít žádnou společnou kolmici.

s-39 Důkaz.

s-40 (a) Buď střed úsečky P, Q, buď A bod, jenž je patou kolmice spuštěné z bodu S na přímku p, buď B bod ležící na přímce q na druhé straně přímky u než bod A, přičemž úsečky AP, BQ jsou stejně dlouhé.

s-41 Protože úhly APS, SQB jsou stejně veliké, jsou trojúhelníky SPA, SQB shodné.

s-42 Přímka SB je tedy kolmá na přímku q.

s-43 Protože také úhly QSB, PSA jsou stejně veliké, leží body A, S, B na přímce.

s-44 Přímka AB je tedy společnou kolmicí přímek p, q (viz obr. 12).

s-45 (b) Buď R bod ležící na přímce q, buď R pata kolmice spuštěné z bodu R na přímku p.

s-46 Nechť přímka q je kolmá na přímku R R .

s-47 Poněvadž q je souběžkou přímky p, je její souběžkou i v bodě R, a tedy úhel souběžnosti bodu R s přímkou p je pravý, což je spor.

s-48 Vzdáleností bodu X od přímky p rozumíme délku úsečky X X , kde X je pata kolmice spuštěné z bodu X na přímku p.

s-49 Ze všech bodů ležících na přímce p má bod X nejmenší vzdálenost od bodu X, což okamžitě nahlédneme, uvědomíme-li si, že v pravoúhlém trojúhelníku je přepona delší než kterákoliv odvěsna.

s-50 To je opět bezprostředním důsledkem tvrzení, podle něhož v trojúhelníku proti delší straně leží větší úhel, které dokážeme následujícím způsobem.

s-51 Nechť strana AB v trojúhelníku ABC je delší než strana AC.

s-52 Buď D bod na úsečce AB takový, že úsečka AD je stejně dlouhá jako úsečka AB (viz obr. 13).

s-53 Trojúhelník ACD je rovnoramenný, a tedy úhel ACD je stejně veliký jako úhel ADC.

s-54 Úhel ACB je větší než úhel ACD a podle tvrzení 1 z předcházejícího pojednání o úhlech je úhel ADC větší než úhel ABC.

s-55 Tvrzení 3.

s-56 Buď q souběžka přímky p.

s-57 Buďte P, Q různé body ležící na přímce q.

s-58 Nechť směr od bodu P k bodu Q je směrem souběžnosti přímky q s přímkou p.

s-59 Potom bod P má od přímky p větší vzdálenost než bod Q.

s-60 Důkaz.

s-61 Buďte P , Q paty kolmic spuštěných z bodů P, Q na přímku p.

s-62 Předpokládejme, že úsečka Q je delší než úsečka P .

s-63 Buď R bod na úsečce Q takový, že úsečka Q je stejně dlouhá jako P P (viz. obr. 14).

s-64 Potom PQ je Saccheriho čtyřúhelník a podle tvrzení o souměrnosti těchto čtyřúhelníků je přímka PR kolmá na přímku EF, kde E je střed úsečky PQ a F je střed úsečky PR.

s-65 Podle tvrzení 3 ze šesté kapitoly prvních Rozprav přímka PR nikdy neprotne přímku p.

s-66 Je-li bod R různý od bodu Q, pak přímka PR svírá s přímkou P P menší úhel, než je úhel souběžnosti bodu P s přímkou p, což je spor.

s-67 Je-li R = Q, pak bod F leží na přímce q a přímka EF je společnou kolmicí přímek p, q, což je ve sporu s tvrzením 2.

s-68 Dokázali jsme tedy, že bude-li se bod X pohybovat po souběžce q přímky p ve směru souběžnosti, bude se jeho vzdálenost od přímky p zmenšovat.

s-69 Bude-li se však pohybovat v opačném směru, bude se jeho vzdálenost od přímky p zvětšovat.

s-70 Dokonce lze dokázat, že zvolíme-li předem nějakou délku, rozumí se nenulovou, pak bude-li se bod X pohybovat po souběžce q přímky p ve směru souběžnosti do nekonečna, jeho vzdálenost od přímky p jednou klesne pod tuto předem zvolenou délku.

s-71 Podobně lze dokázat, že zvolíme-li předem nějakou délku, pak bude-li se bod X pohybovat po této souběžce do nekonečna ve směru opačném, jeho vzdálenost od přímky p jednou přeroste tuto délku.

s-72 Tato tvrzení však již dokazovat nebudeme, čímž umožníme čtenáři, aby si uvědomil, že není tak snadné vymýšlet důkazy různých tvrzení o našem odsouzeném světě, jako již vymyšlené důkazy číst.

s-73 Tvrzení 4.

s-74 Nechť bod P má od přímky p stejnou vzdálenost jako bod Q od přímky q;

s-75 nechť tato vzdálenost je nenulová.

s-76 Potom úhel souběžnosti bodu P s přímkou p je stejně veliký jako úhel souběžnosti bodu Q s přímkou q.

s-77 Důkaz plyne triviálně ze shodnosti vhodných trojúhelníků.

s-78 Tvrzení 5.

s-79 Nechť bod P má od přímky p větší vzdálenost než bod Q od přímky q;

s-80 nechť tyto vzdálenosti jsou nenulové.

s-81 Potom úhel souběžnosti bodu P s přímkou p je menší než úhel souběžnosti bodu Q s přímkou q.

s-82 Důkaz.

s-83 Podle předcházejícího tvrzení můžeme rovnou předpokládat, že přímky p,q jsou totožné a že bod Q je vnitřním bodem úsečky P P , kde P je pata kolmice spuštěné z bodu P na přímku p.

s-84 Buď r souběžka přímky p vedená bodem Q (viz obr. 15).

s-85 Buď M bod ležící v té polorovině určené přímkou P P , do níž míří směr souběžnosti přímky r s přímkou p;

s-86 nechť úhel MP je stejně velký jako úhel souběžnosti bodu Q s přímkou p.

s-87 Přímky PM, r svírají s přímkou P po jedné její straně vnitřní úhly, jejichž součet je roven dvěma úhlům pravým, a tudíž se nikdy neprotnou.

s-88 Podle tvrzení 2 přímka PM není souběžkou přímky r.

s-89 Buď N bod ležící uvnitř úhlu MPQ takový, že přímka PN je souběžkou přímky r.

s-90 Přímka PN neprotne přímku r, a tedy ani přímku p.

s-91 To znamená, že souběžka přímky p vedená bodem P svírá s přímkou P P úhel nejvýše takový jako přímka PN, a tedy menší než úhel MP P .

s-92 Tvrzení 6.

s-93 Nechť q je souběžka přímky p.

s-94 Potom p je souběžka přímky q.

s-95 Důkaz.

s-96 Buď P bod ležící na přímce q, buď P pata kolmice spuštěná z bodu P na přímku p.

s-97 Dokážeme, že přímka p je souběžkou přímky q vedenou bodem P , a sice ve směru, jenž míří to téže poloroviny určené přímkou P P jako směr souběžnosti přímky q s přímkou p v bodě P.

s-98 Předpokládejme, že tomu tak není.

s-99 Potom lze v této polorovině nalézt bod m takový, že přímka P je ve směru od bodu P k bodu M souběžkou přímky q a úhel P je ostrý (viz obr. 16).

s-100 Buď R pata kolmice spuštěné z bodu M na přímku P P .

s-101 Zřejmě bod R je vnitřním bodem úsečky P P .

s-102 Podle tvrzení 5 je úhel souběžnosti bodu P s přímkou p menší než úhel souběžnosti bodu P s přímkou RM, a tudíž přímky q, RM se protnou v nějakém bodě A.

s-103 Přímka P M protne stranu RA trojúhelníka PRA a neprotne stranu PR, neboť přímku PR protíná v bodě P, jenž neleží na úsečce PR.

s-104 To ale znamená, že přímka P M protne stranu PA, a tedy i přímku q, což je spor.

s-105 Řekneme-li tedy, že přímky p,q jsou souběžky, pak již není třeba dodávat, která je souběžkou které.

s-106 Tvrzení 7.

s-107 Buďte r, p, q různé přímky a nechť přímka r je v témže směru souběžkou přímek p, q.

s-108 Potom přímky p, q jsou souběžky.

s-109 Důkaz.

s-110 Nechť nejprve přímka r leží mezi přímkami p, g (viz obr. 17).

s-111 Buď P bod ležící na přímce p, buď Q pata kolmice spuštěné z bodu P na přímku q.

s-112 Buď c souběžka přímky q vedená bodem P, jejíž směr souběžnosti míří do téže poloroviny určené přímkou PQ jako směr souběžnosti přímky r.

s-113 Nechť p, c jsou různé.

s-114 Potom ale přímka c protne přímku r v nějakém bodě A, neboť p je souběžkou přímky r.

s-115 Poněvadž přímka r je souběžkou přímky Q v bodě A, protne přímka c též přímku q, což je spor.

s-116 Nechť tedy například přímka q leží mezi přímkami p, r (viz obr. 18).

s-117 Buď P bod ležící na přímce p, buď R pata kolmice spuštěné z bodu P na přímku r, buď Q průsečík přímky q s přímkou PR.

s-118 Přímky p, q se nikdy neprotnou.

s-119 Kdyby se totiž protly v nějakém bodě A, pak by tento bod musel ležet v té polorovině určené přímkou PR, do níž míří směr souběžnosti přímky r, neboť P má menší úhel souběžnosti s přímkou r než bod Q.

s-120 Protože ale q je souběžkou přímky r v bodě A, musela by přímka p protnout přímku r, neboť v bodě A svírá s kolmicí na přímku r úhel menší než přímka q.

s-121 Nechť c je vhodná souběžka přímky q vedená bodem P.

s-122 Předpokládejme, že přímky p, c jsou různé.

s-123 Poněvadž přímka p je souběžkou přímky r v bodě P, protne přímka c přímku r.

s-124 V důsledku toho protne i přímku q, což je spor.

s-125 Přímky p, q, které se nikdy neprotnou a nejsou souběžky, se nazývají rozběžky.

s-126 Bodem P, jenž neleží na přímce p, lze tedy vést právě dvě souběžky přímky p a nekonečně mnoho rozběžek.

s-127 Důmyslný důkaz následujícího tvrzení pochází od Davida Hilberta, a není to tedy původní důkaz tohoto tvrzení.

s-128 Tvrzení 8.

s-129 Buďte p, q rozběžky.

s-130 Potom lze vytvořit přímku, která je kolmá na obě tyto přímky.

s-131 Důkaz.

s-132 Buďte P, Q, S různé body ležící na přímce p takové, že bod Q leží na úsečce PS.

s-133 Buďte P , S , Q paty kolmic spuštěných z bodů P, S, Q na přímku q.

s-134 Jsou-li úsečky P , Q stejně dlouhé, je PQ Saccheriho čtyřúhelník a podle tvrzení o souměrnosti těchto čtyřúhelníků je spojnice středů úseček PQ , PQ kolmá na přímky PQ , PQ.

s-135 Nechť tedy například úsečka Q má menší délku než úsečka PQ.

s-136 Buď R bod ležící na úsečce P takový, že úsečky R , Q mají stejnou délku (viz obr. 19).

s-137 Buď RN přímka taková, že úhel NR je stejně veliký jako úhel SQ , kde N je bod ležící v téže polorovině určené přímkou P jako bod Q.

s-138 Buď Q souběžka přímky p, přičemž směry souběžnosti těchto přímek jsou směry od bodu Q k bodu M a od bodu Q k bodu S.

s-139 Buď H takový bod, že úhly H , M jsou stejně veliké a bod H leží v téže polorovině určené přímkou p jako bod M.

s-140 Podle tvrzení 2 jsou přímky Q, P rozběžky.

s-141 Přímky RN, p se protnou v nějakém bodě A, neboť v opačném případě by souběžka přímky p vedená bode Q svírala s přímkou q větší úhel než přímka Q, to je alespoň takový úhel, jaký s přímkou q svírá souběžka přímky P vedená bodem Q.

s-142 Buď B bod ležící na téže polopřímce přímky p určené bodem p jako bod Q;

s-143 nechť úsečky QB, RA mají stejnou délku.

s-144 Buďte A , B paty kolmic spuštěných z bodů A, B na přímku q.

s-145 Jak je okamžitě patrno, čtyřúhelníky PA, QB jsou shodné, a tedy úsečky A , B mají stejnou délku.

s-146 Odtud plyne, že AB AB je Saccheriho čtyřúhelník, a tedy přímka spojující středy úseček AB , AB je kolmá na přímky p, q.

s-147 Uvědomme si, že žádné dvě různé přímky nemohou mít dvě různé společné kolmice, neboť by tím vznikl čtyřúhelník, v němž je součet úhlů roven čtyřem úhlům pravým.

s-148 Z předcházejících úvah plyne, že dvě neprotínající se přímky p, q jsou souběžky právě tehdy, když nemají žádnou společnou kolmici, a rozběžky právě tehdy, když mají právě jednu společnou kolmici.

s-149 Tvrzení 9.

s-150 Buťe p, q rozběžky.

s-151 Buďte body P, Q body ležící postupně na přímkách p, q takové, že přímka PQ je kolmá na obě přímky p, q.

s-152 Buďte X, Y body ležící na přímce p, přičemž bod X leží na úsečce PY.

s-153 Potom bod Y má větší vzdálenost od přímky q než bod X.

s-154 Důkaz.

s-155 Buďte X , Y paty kolmic spuštěných z bodů X, Y na přímku q (viz obr. 20).

s-156 Protože součet úhlů ve čtyřúhelníku je menší než čtyři úhly pravé, je úhel PX ostrý, a v důsledku toho úhel YX je tupý.

s-157 Kdyby úsečky X , Y měly stejnou délku, byl by XY Saccheriho čtyřúhelník, a tedy spojnice středů úseček XY , XY by byla druhou společnou kolmicí přímek p,q.

s-158 Nechť tedy úsečka X X má větší délku než úsečka Y .

s-159 Buď Z bod ležící na úsečce X X takový, že úsečky Z , Y jsou stejně dlouhé.

s-160 Potom XY je Saccheriho čtyřúhelník, a tedy podle tvrzení o Saccheriho čtyřúhelníku je úhel YZ ostrý.

s-161 Podle tvrzení 1 z pojednání o úhlech je úhel YZ větší než úhel YX , a tedy i úhel YX je ostrým, což je spor.

s-162 Bude-li se tedy bod X pohybovat po jedné ze dvou rovnoběžek od jejich společné kolmice, ať už v jednom či druhém směru, bude se jeho vzdálenost od druhé rovnoběžky zvětšovat.

s-163 Také v tomto případě lze dokázat, že bude-li se pohybovat do nekonečna, pak ať předem zvolíme jakoukoliv délku, jednou jeho vzdálenost od druhé rovnoběžky tuto délku přeroste.

s-164 Rovněž důkaz posledního tvrzení, které v tomto oddíle uvedeme, přebíráme z Hilberta, a to především proto, abychom ho zpřístupnili širšímu okruhu českých čtenářů.

s-165 Pro větší přehlednost dokážeme nejprve následující tvrzení.

s-166 Tvrzení 10.

s-167 Buď p přímka, P bod, jenž na ní neleží, P pata kolmice spuštěné z bodu P na přímku p.

s-168 Buď A bod různý od bodu P, ležící v téže polorovině určené přímkou p jako bod P, a nechť úhel AP je ostrý.

s-169 Buď B bod souměrný k bodu A podle přímky P P .

s-170 buďte A , B paty kolmic spuštěných z bodů A,B na přímku p.

s-171 Buď a souběžka přímky PB vedená bodem A, přičemž směr od bodu P k bodu B je směrem souběžnosti.

s-172 Nechť přímka A A půlí úhel přímek PA, a.

s-173 Potom přímka p je souběžkou přímek PA, PB (viz obr. 21).

s-174 Důkaz.

s-175 Buď b přímka souměrná s přímkou a podle přímky P P .

s-176 Zřejmě b je souběžka přímky PA.

s-177 Buďte a , b souběžky přímky PA ve směru od bodu P k bodu A, procházející body A , B ;

s-178 nechť alespoň jedna z nich je různá od přímky p.

s-179 Buď C pata kolmice spuštěné z bodu A na přímku PA, buď D pata kolmice spuštěné z bodu B na přímku b.

s-180 Protože také přímka B půlí úhel přímek PB, b jsou trojúhelníky A, B shodné.

s-181 V důsledku toho přímky a , b svírají s přímkou p stejné úhly.

s-182 Podle tvrzení 2 jsou a , b rovnoběžky.

s-183 Podle tvrzení 7 jsou to však souběžky, což je spor.

s-184 Přímky a , b jsou tedy totožné s přímkou p, v důsledku čehož je přímka p souběžkou přímky PA.

s-185 Podobně dokážeme, že přímka p je souběžkou přímky PB.

s-186 Tvrzení 11.

s-187 Buď ostrý úhel.

s-188 Potom lze nalézt bod P a přímku p takovou, že úhel souběžnosti bodu P s přímkou p má velikost .

s-189 Důkaz.

s-190 Buďte P, A, B různé body takové, že úsečky PA, PB jsou stejně dlouhé a úhel APB má velkost 2 (viz obr. 22).

s-191 Buď a souběžka přímky PB ve směru od bodu P k bodu B vedená bodem A.

s-192 Buď přímka b souměrná s přímkou a podle osy q úhlu APB.

s-193 Zřejmě b je souběžka přímky PA ve směru bodu P k bodu A.

s-194 Buď c přímka, která prochází bodem A a půlí ten úhel přímek PA, a, v němž neleží přímka AB.

s-195 Buď d přímka souměrná k přímce c podle osy q.

s-196 Zřejmě přímka d půlí odpovídající úhel přímek PB, b.

s-197 Přímky PB, a svírají na té straně přímky PA, na níž leží bod B, s přímkou PA vnitřní úhly, jejichž součet je menší než dva úhly pravé.

s-198 Odtud snadno nahlédneme, že přímky c,d svírají na té straně přímky AB, na níž neleží bod P, s přímkou AB vnitřní úhly, jejichž součet je menší než dva pravé úhly.

s-199 Jestliže se tedy přímky c, d protínají, pak v té polorovině určené přímkou AB, v níž neleží bod P;

s-200 jestliže přímky c, d jsou souběžky, pak jejich směr souběžnosti míří od bodů A, B do této poloroviny;

s-201 jestliže přímky c, d jsou rozběžky, pak jejich společná kolmice leží v této polorovině.

s-202 Dokážeme, že přímky c, d jsou rovnoběžky.

s-203 Jakmile to bude dokázáno, pak hledanou přímkou p bude jejich společná kolmice, neboť podle předcházejícího tvrzení je tato přímka souběžkou přímek PA, PB, a tedy úhel souběžnosti bodu P s touto přímkou má velikost .

s-204 Předpokládejme, tedy nejprve, že přímky c, d se protnou v nějakém bodě M.

s-205 Zřejmě bod M leží na přímce q a úsečky AM, BM mají stejnou délku.

s-206 Buď r souběžka přímky PA ve směru od bodu P k bodu A, která prochází bodem M.

s-207 Podle tvrzení 7 jsou také přímky r, b souběžky.

s-208 Protože úhel, který svírá přímka MA s polopřímkou přímky PA určenou bodem A, na níž neleží bod P, a úhel, který svírá přímka MB s polopřímkou přímky b určenou bodem B a jejím směrem souběžnosti s přímkou PA, mají stejnou velikost, je úhel souběžnosti bodu M s přímkou PA stejně veliký jako úhel souběžnosti bodu M s přímkou b.

s-209 V důsledku toho svírá polopřímka přímky r určená bodem M a směrem souběžnosti s přímkami PA, b stejně velký úhel jak s polopřímkou MA, tak i s polopřímkou MB.

s-210 Druhý z těchto úhlů je však evidentně větší, což je spor.

s-211 Předpokládejme tedy, že přímky c, d jsou souběžky.

s-212 Buď C průsečík přímek b, c;

s-213 tyto přímky se protnou, neboť přímka PA je souběžkou přímky b.

s-214 Bod C neleží na přímce q, neboť v opačném případě by ležel i na přímce d, která je s přímkou c souměrná podle osy q;

s-215 přímky c,d by se tedy protly.

s-216 Dokážeme však, že úsečky CA, CB jsou stejně dlouhé, což bude spor.

s-217 Nechť tedy B' je bod ležící na polopřímce CB, různý od bodu B a úsečky CA, CB' jsou stejně dlouhé.

s-218 Buď b' souběžka přímky c vedená bodem B'.

s-219 Úhel, který svírá polopřímka CB' s polopřímkou c určenou bodem C a směrem souběžnosti s přímkou d, je stejně veliký jako úhel, který svírá polopřímka CA s polopřímkou přímky b určenou bodem C a směrem souběžnosti s přímkou PA.

s-220 V důsledků toho musí souběžka b' přímky c vedená bodem B' svírat s polopřímkou B'C stejně velký úhel jako souběžka přímky b vedená bodem A s polopřímkou AC.

s-221 Druhý z těchto úhlů je však stejně veliký jako úhel, který svírá polopřímka přímky d určená bodem B s polopřímkou BC.

s-222 Přímky b', d tady svírají s přímkou BC po jedné straně vnitřní úhly, jejichž součet je roven dvěma úhlům pravým.

s-223 Podle tvrzení 2 jsou přímky b', d rozběžky.

s-224 Přímka c je však jejich společnou souběžkou, a sice v témž směru.

s-225 Podle tvrzení 7 jsou tedy b', d souběžky.

s-226 Uvědomíme-li si některé bezprostřední důsledky právě dokázaného tvrzení, rázem je zařadíme mezi nejpodivnější z těch, které jsme až dosud o našem odsouzeném geometrickém světě dokázali.

s-227 Tak například ať zvolíme jakkoliv malý úhel, pak vždy uvnitř tohoto úhlu lze vést přímku, která nikdy neprotne jeho ramena.

s-228 Stačí totiž vést přímku kolmou na osu tohoto úhlu ve vzdálenosti od vrcholu, která je stejně velká, nebo větší než vzdálenost bodu P od přímky p, jehož úhel souběžnosti s přímkou p je roven polovině tohoto zvoleného úhlu.

s-229 Vytváříme-li pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky o stále větších rozměrech, pak délky jejich výšek jsou shora omezeny délkou k, kde k je vzdálenost bodu P od přímky p, jehož úhel souběžnosti s touto přímkou je roven polovině úhlu pravého.

s-230 Zvolíme-li dvě kolmé přímky p, q protínající se v bodě S a vedeme vždy v dané vzdálenosti od bodu S přímky kolmé na tyto přímky, budou zprvu vznikat čtyřúhelníky o stejně dlouhých stranách.

s-231 Jakmile však tato vzdálenost dosáhne dříve uvedené délky k, utečou vrcholy těchto čtyřúhelníků do nekonečna, a tedy jejich "sousední" strany se nikdy neprotnou.

s-232 Absolutní délky

s-233 Za pokračovatele v díle Saccheriho může být s jistými výhradami považován Johann H. Lambert.

s-234 Tento matematik byl však příliš lákán vidinou sporu a nenalezl v sobě dostatek sebezapření, které je nezbytné k všestrannému a trpělivému osvětlování předem odsouzeného světa.

s-235 Nepřispěl proto k poznávání našeho odsouzeného geometrického světa nějakými tvrzeními, o nichž bychom mohli říci, že jsou podstatně nová oproti těm, která již dokázal Saccheri.

s-236 Povšiml si však pozoruhodného jevu, jenž Saccherimu unikl, ačkoliv jej měl tak říkajíc ležet před očima.

s-237 Tímto jevem jsou korespondence mezi délkami úseček a velikostmi úhlů.

s-238 Nebudeme se zdržovat popisem té korespondence mezi délkami úseček a velikostmi úhlů, kterou se zabýval Lambert, ale rovnou se zaměříme na tu, které byla později dávána přednost, a k jejímuž popisu jsme si v předcházejícím oddíle připravili vše potřebné.

s-239 Poměrně jednoduchá tvrzení 4 a 5 tuto korespondenci již navozují.

s-240 Je-li nějaká délka úsečky, pak této délce odpovídá velikost úhlu souběžnosti bodu P s přímkou p, od níž má bod P vzdálenost d.

s-241 Zřejmě každé délce úsečky odpovídá v této korespondenci právě jeden ostrý úhel.

s-242 Z tvrzení 11 pak plyne, že také naopak, každé velikosti ostrého úhlu odpovídá právě jedna délka úsečky.

s-243 Budeme-li v dalším hovořit o korespondenci mezi délkami úseček a velikostmi úhlů, budeme mít na mysli korespondenci právě popsanou.

s-244 Velikosti některých úhlů, jako například úhlu pravého a podobně, jsou absolutní.

s-245 To znamená, že to jsou ideje, jak bychom řekli v platónském pojetí geometrie.

s-246 V každém případě to jsou pojmy trvalé, neboť jev pravého úhlu, poloviny pravého úhlu a podobně, jsou jevy obnovitelné.

s-247 Zanikne-li pravoúhlý trojúhelník, na němž jsme evidovali pravý úhel, pak se nám asi nepodaří znovu vytvořit týž trojúhelník, avšak pravý úhel se nám znovu vytvořit podaří.

s-248 V našem odsouzeném geometrickém světě jsou však absolutní i některé délky úseček, totiž ty, které ve shora popsané korespondenci odpovídají absolutním velikostem úhlů.

s-249 Tomu je ovšem nutno rozumět tak, že kdyby se nám místo klasického geometrického světa otevřel takovýto svět, a to stejným způsobem, tedy jako cosi naprosto strnulého a neměnného, alespoň co se týče jeho prostoru, pak by v něm i tyto délky úseček byly absolutní.

s-250 Kdyby reálný prostor byl totožný s prostorem tohoto odsouzeného geometrického světa, pak by z toho plynul zvlášť pozoruhodný důsledek pro reálný svět.

s-251 Mohli bychom v něm totiž stanovit nějakou jednotkovou délku, a přitom bychom nebyli nuceni přechovávat ji na nějakém objektu, neboť i kdyby zanikly všechny reálné objekty, které mají tuto délku, mohli bychom ji kdykoliv obnovit, podobně jako můžeme kdykoliv znovu obnovit pravý úhel.

s-252 Za základní neboli jednotkovou délku v našem odsouzeném geometrickém světě můžeme prohlásit například takovou délku, jíž v prve popsané korespondenci odpovídá velikost poloviny pravého úhlu.

s-253 Této délce budeme říkat parametr našeho odsouzeného světa.

s-254 Z předcházejících úvah je patrno, že parametr je nejmenší ze všech délek úseček, kterou nemůže mít výška žádného pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníka.

s-255 Je to také nejmenší délka taková, že vytvoříme-li dvě navzájem kolmé přímky p,q protínající se v bodě S, pak přímky vedené v této vzdálenosti od bodu S kolmo na přímky p, q se neprotínají (viz obr. 23).

s-256 Důsledků, plynoucích z korespondence mezi délkami úseček a velikostmi úhlů, si byl vědom A. M. Légendre, který je ještě v roce 1833 považoval za konečné zhroucení našeho odsouzeného světa.

s-257 Uvažoval v podstatě tak, že není možné, aby geometrické konstrukce závisely na délce zvolené jednotkové úsečky, v důsledku čehož je nemyslitelné, aby například k nějaké délce bylo možné vytvořit pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, jehož výška má tuto délku, a k nějaké jiné délce to již možné nebylo.

s-258 Tím nám ovšem poskytl ukázkový příklad toho, jak hluboce byla mezi geometry zakořeněná důvěra v takto jednoduše se ve světě projevující Boží nezáludnosti.

s-259 Snahy o rozbití odsouzeného světa reálným světem

s-260 Nedaří-li se nám přivést náš odsouzený geometrický svět k vnitřnímu zhroucení, to je nedovedeme-li v něm nalézt spor, jenž by nám umožnil vyložit si jej jako sporný s rozumem, zbývá stále ještě možnost přivést jej ke sporu prostřednictvím reálného světa.

s-261 Tuto možnost ovšem máme proto, že jsme ztotožnili reálný prostor s prostorem geometrickým.

s-262 Mezi těmito prostory nerozlišujeme, a můžeme tedy některé poznatky o geometrickém prostoru získávat z prostoru reálného, a to tak, že si v reálném prostoru ověříme, zda tam to či ono tvrzení platí či neplatí.

s-263 Protože nejdůležitějšími geometrickými objekty, jichž se týkají tvrzení, která bychom chtěli popřít, jsou přímky, musíme si nejprve ujasnit, co jsou přímky v reálném prostoru.

s-264 Zjevná příbuznost mezi geometrickým viděním a viděním zrakovým nám posouvá za přímky v reálném prostoru světelné paprsky.

s-265 Abychom se přiblížili době, o níž píšeme, budeme i my vykládat světelné paprsky jako přímky, přestože tento výklad byl později prohlášen za mylný.

s-266 Vycházíme-li z právě uvedeného výkladu, okamžitě obdržíme následující výsledek.

s-267 Parametr našeho odsouzeného světa musí být tak velký, že úsečka této délky se nevejde před obzor ohraničující tehdejší možnosti měření délek v reálném prostoru.

s-268 Tak například tento parametr nemůže být menší než jeden centimetr, neboť není pravda, že bychom nemohli vytvořit pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, jehož výška je větší než jeden centimetr.

s-269 Abychom se o tom přesvědčili, stačí přeměřit výšku pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníka skrytého pod obrázkem 24.

s-270 Podobně tento parametr musí být větší než deset metrů, neboť vytvoření pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníka o výšce větší než deset metrů nám rozhodně nebude dělat potíže.

s-271 Avšak nejen to, podle našich astronomických pozorování musí být tento parametr nepoměrně větší než poloměr Země, jak poznamenává Gauss.

s-272 Vskutku, kdyby tento parametr byl roven například poloměru Země, pak pozorováno na rovníku, musela by hvězda H, ležící v rovině rovníku a vycházející dejme tomu v 21 hodinu, být ve 24 hodiny již v nadhlavníku a zapadat by musela ve 3 hodiny ráno.

s-273 Zbývajících 18 hodin by byla skrytá za obzorem (viz obr. 25).

s-274 Krátce řečeno, v daném okamžiku bychom viděli pouze čtvrtinu dráhy této hvězdy;

s-275 ve skutečnosti však vidíme téměř polovinu její dráhy.

s-276 Právě provedenými úvahami jsme sice umístili parametr našeho odsouzeného světa až někam mezi obrovské velikosti, ale zrušit jej úplně se nám zatím nepodařilo.

s-277 Nicméně i tento výsledek by v nás mohl vzbudit naději, že cesta, po níž jsme se vydali, nás dovede ke zdárnému konci.

s-278 Mohli bychom totiž uvažovat například následujícím způsobem.

s-279 Dejme tomu, že parametr je nějaká obrovská délka, lhostejno jaká.

s-280 Vytvořme přímku p a bod P, jenž se od ní nachází ve vzdálenosti rovné parametru.

s-281 V rovině r určené bodem P a přímkou p veďme bodem P souběžky c, d přímky p.

s-282 Zřejmě přímky c, d jsou navzájem kolmé.

s-283 Vzdalme se nyní od roviny r po kolmici vedené k této rovině v bodě P tak daleko, abychom z této vzdálenosti měli bod P a přímky p, c, d tak říkajíc "jako na dlani";

s-284 podobně jako odtud ze Země jsme schopni přehlédnout celou vzdálenost mezi stálicemi Castorem a Polluxem.

s-285 Úhel přímek c, d se nám bude i z této vzdálenosti jevit jako úhel pravý.

s-286 Z takovéhoto odstupu ovšem již snadno prodloužíme přímky c, d tak, aby protly přímku p, neboť délku parametru se nám podařilo umístit před obzor.

s-287 Tato úvaha je však nesprávná a odhalení omylu v ní obsaženého je poučné.

s-288 Když jsme se totiž jednou rozhodli vykládat světelné paprsky jako přímky, pak se musíme tohoto výkladu držet důsledně.

s-289 I paprsky vycházející z našeho oka musíme tedy podřídit zákonům prostoru našeho odsouzeného geometrického světa.

s-290 Nebylo by žádným uměním dospět ke sporu, kdybychom si během téže úvahy vykládali chování světelných paprsků různými způsoby.

s-291 Abychom měli bod P a přímky p, c, d před sebou jako na dlani, musíme se dívat na rovinu r ze vzdálenosti větší než parametr.

s-292 To ale znamená, že rovinu r protínající pouze ty paprsky vycházející z našeho oka, které leží uvnitř světelného kužele, jehož povrchové přímky svírají s kolmicí na rovinu r úhel stejně veliký jako úhel souběžnosti bodu, v němž se nachází naše oko, s rovinou r.

s-293 Díváme-li se po přímce, která neleží uvnitř tohoto kužele, pak se na rovinu r nedíváme, neboť tato přímka rovinu r neprotne.

s-294 Celá rovina r se nám tedy jeví jako kruh;

s-295 co neleží uvnitř tohoto kruhu, to již do roviny r nepatří.

s-296 Námi prodloužené přímky c, d protnou přímku p na obvodě tohoto kruhu;

s-297 to co považujeme za jejich průsečíky jsou jen zdánlivé průsečíky, neboť přímky spojující naše oko s těmito "průsečíky" rovinu r neprotnou (viz obr. 26).

s-298 Pozoruhodné ovšem je, že z takovéto vzdálenosti bychom byli schopni přehlédnout celou nekonečnou rovinu.

s-299 Přibližování velkých vzdáleností tedy nesmíme podřizovat zákonům klasického geometrického prostoru, neboť tím bychom činili předpoklad, že reálný prostor je klasickým geometrickým prostorem.

s-300 Aby naše snahy byly úspěšné, museli bychom přivést ke sporu předpoklad, že reálný prostor je prostorem našeho odsouzeného geometrického světa.

s-301 Odkrytím omylu v předcházející úvaze - a v řadě úvah podobných - se postupně utvrdíme v přesvědčení, že takovéto "zmenšování" parametru není schůdnou cestou k jeho popření.

s-302 K umísťování parametru našeho odsouzeného geometrického světa mezi stále větší a větší délky nemusíme zdokonalovat toliko naše schopnosti měřit stále větší a větší délky, ale můžeme toho dosahovat i zdokonalováním našich schopností měřit přesněji jednak velikosti úhlů, jednak délky nám dostupných úseček.

s-303 Vyhledávání dolních odhadů velikosti parametru můžeme totiž stejně tak dobře opřít o tvrzení týkající se součtu úhlů v trojúhelníku.

s-304 Zjistíme-li, že součet úhlů v nějakém trojúhelníku, jehož délky stran a velikosti úhlů jsme změřili, se liší od dvou úhlů pravých o nějakou velikost , která je větší než horní odhad chyb, jichž jsme se při těchto měřeních mohli dopustit, pak již odtud lze vypočítat, jak přinejmenším musí být parametr veliký.

s-305 Postup, jakým to lze vypočítat, jsme sice neuvedli, ale zkušenějšímu čtenáři jistě nebude činit potíže nějaký takový postup sestavit.

s-306 Protože však délky stran, ani velikosti úhlů naprosto přesně nezměříme, budeme muset vždy s nějakou chybou počítat.

s-307 Jinými slovy, nikdy nebudeme měřit tak dokonale, abychom mohli s naprostou jistotou tvrdit, že v nějakém trojúhelníku je součet úhlů roven přesně dvěma úhlům pravým.

s-308 Tak dokonale totiž neměří ani andělé, neboť ani oni nemohou zdokonalit svoje schopnosti nekonečněkrát, což by naprosto přesné měření vyžadovalo;

s-309 na rozdíl od nás mohou pouze bez potíží měřit stále přesněji.

s-310 Naděje na rozbití našeho odsouzeného geometrického světa světem reálným tak pomalu vyhasínají.

s-311 Byť bychom sebevíce zdokonalovali schopnosti měřit stále přesněji velikosti různých vzdáleností a úhlů, byť bychom si podmaňovali stále větší okolí reálného světa, může se nám dařit parametr odsouzeného geometrického světa pouze odsouvat mezi stále větší a větší velikosti, či lépe řečeno přesvědčovat se, že nám dostupné velikosti jsou oproti parametru velmi malé, ale v této chvíli nás nenapadá žádný způsob, jakým bychom mohli ukázat nemožnost parametru.

s-312 Přesto úvahy, které jsme prováděli, nejsou neplodné, neboť domyšleny do důsledků, mohou vzít překvapující obrat.

s-313 Měřením velikostí úhlů v reálném světě sice nerozbijeme náš odsouzený geometrický svět, ale nelze vyloučit, že by se nám tímto způsobem mohlo podařit rozbít klasický geometrický svět.

s-314 K tomu by došlo tehdy, kdybychom po změření úhlů v nějakém trojúhelníku zjistili, že odchylka jejich součtu od dvou úhlů pravých je větší než horní odhad chyb, kterých jsme se při tomto měření mohli dopustit.

s-315 v takovém případě by pochopitelně součet úhlů v tomto trojúhelníku nebyl rovem dvěma úhlům pravým, což je ve sporu s tvrzením platným v klasickém geometrickém světě.

s-316 Úvahy tohoto druhu vedly Gausse k měření úhlů v trojúhelníku Brocken-Hohenhagen-Inselsgerg.

s-317 Odchylka součtu úhlů od dvou pravých, kterou v tomto trojúhelníku naměřil, byla však v mezích možných chyb.

s-318 Nicméně toto Gaussovo měření bylo nejvýznamnějším pokusem novověké přírodovědy od dob Galileových;

s-319 pochopitelně ne z hlediska obdrženého výsledku, neboť tento pokus vlastně žádný výsledek nepřinesl, ale z hlediska úmyslu, s nímž byl prováděn.

s-320 Všechny dosavadní pokusy byly prováděny v podstatě proto, aby vyvolaly jevy, které byly již předtím zpracovány čistým apriorním poznáním, a dosvědčily tak převahu tohoto poznání nad zkušeností, nebo aby odkryly jevy, které je třeba při apriorním zkoumání vyvolaného jevu brát v úvahu, případně jen přibrat v úvahu.

s-321 Naproti tomu Gaussův pokus byl veden nedůvěrou v dosud všeobecně uznávaný základ apriorního přírodovědného poznání, a nadto nebyl prováděn proto, aby tuto nedůvěru zahladil - to se od něj totiž nedalo očekávat - ale aby ukázal, že tato nedůvěra je oprávněná.

s-322 Nebezpečí, že bychom mohli shora uvedeným způsobem rozbít klasický geometrický svět, nás vede k úvahám o tom, zda zjištění, že v reálném světě není součet úhlů v trojúhelníku roven dvěma úhlům pravým, vskutku mělo za následek zkázu klasického geometrického světa.

s-323 Jinými slovy, zda bychom v takovém případě byli nuceni zavrhnout většinu toho, co bylo v geometrii vykonáno od doby Eukleidovy, a místo toho budovat od samého začátku novou geometrii.

s-324 K něčemu takovému bychom nuceni byli a nebyli.

s-325 Nutil by nás k tomu reálný svět, ne však pouhý rozum.

s-326 Pokud bychom chtěli i nadále setrvávat na stanovisku, že reálný prostor je totožný s prostorem geometrickým, které nám umožňuje vykládat geometrické poznatky jako poznatky o reálném světě, pak pro tento účel bychom museli starou geometrii zavrhnout, a místo ní urychleně vybudovat novou.

s-327 Naproti tomu zjištění, že v reálném světě není součet úhlů v trojúhelníku roven dvěma úhlům pravým, které se navíc opírá o výklad světelných paprsků jakožto přímek, se přísně vzato klasického geometrického světa vůbec netýká, a proto je nemůžeme považovat za vnitřní zhroucení tohoto světa.

s-328 Toto zjištění by nebylo sporem v klasickém geometrickém světě, a pouhý rozum by nás tedy nenutil dosavadní geometrii zavrhnout.

s-329 Rozum by nás nutil pouze k přiznání, že reálný prostor není totožný s klasickým geometrickým prostorem a že tedy ztotožněním těchto prostorů jsme se dopustili omylu.

s-330 Ostatně ani reálný svět by nás s neodbytnou naléhavostí nenutil k zavržení staré geometrie, neboť pokud bychom se zabývali jen malým okolím reálného světa a neměli příliš velké nároky na přesnost, stále by nám stará geometrie poskytovala dobré služby.

s-331 Stručně shrnuto, nesrovnalosti mezi klasickým geometrickým a reálným světem jsou nesrovnalosti mezi těmito světy, ne však nesrovnalosti uvnitř některého z nich.

s-332 Takové nesrovnalosti mohou rozbít vztah, do něhož jsme tyto světy zasadili, jmenovitě výklad reálného prostoru jakožto prostoru totožného s klasickým geometrickým prostorem;

s-333 žádný z těchto světů však rozbít nemohou.

s-334 Kdyby se takové nesrovnalosti objevily, pak by ovšem klasický geometrický svět musel postoupit své výsadní místo v matematické přírodovědě nějakému jinému geometrickému světu.

s-335 Zcela obdobně tomu ovšem je i s naším odsouzeným geometrickým světem.

s-336 Žádná nesrovnalost mezi prostorem tohoto světa a prostorem reálným, o níž nadto nemáme zatím ani tušení, kde by se mohla objevit, nemůže rozbít tento odsouzený geometrický svět.

s-337 Snahy rozbít odsouzený geometrický svět světem reálným tak vyšly naprázdno.

s-338 Úvahy, které jimi byly vyvolány, však odkryly omyl, jehož se dopustili ztotožněním reálného prostoru s klasickým geometickým prostorem.

s-339 Přesněji, poprvé vzbudily podezření, že ztotožněním těchto prostorů došlo o omylu.

dependency tree • text view