vesm9303_056

Otevření neeukleidovských geometrických světů

/Čtvrté rozpravy s geometrií, 3. část/

PETR VOPĚNKA

V dalším se tedy i my budeme opírat o tvrzení, že je-li ABC trojúhelník a vchází-li do něho přímka b vrcholem A, pak protíná stranu BC, a podobně i o tvrzení, že protíná-li přímka b stranu BC a neprochází-li vrcholem A, pak protíná buď stranu AB, nebo stranu AC, aniž bychom měli špatné svědomí, že tím provádíme cosi nedovoleného.

Buď Q nějaký bod ležící na přímce q, který je různý od bodu P. Úsečku Q rozlomíme na dvě části. První z nich je geometrickým místem bodů ležících na této úsečce, jejichž spojnice s bodem P nikdy neprotnou přímku p. Druhá část je geometrickým místem bodů ležících na této úsečce, jejichž spojnice s bodem P protnou přímku p. Leží-li bod X v první z těchto částí a leží-li bod Y na úsečce XQ, pak zřejmě i bod Y leží v první z těchto částí. Podobně leží-li bod X ve druhé z těchto částí a leží-li bod Y na úsečce X , pak zřejmě i bod Y leží ve druhé z těchto částí. Rozdělení úsečky P na tyto dvě části je tedy vskutku jejím rozlomením. Buď S bod v němž k tomuto rozlomení dochází (viz obr. 9). Přímka PS nikdy neprotne přímku p. Kdyby ji totiž protla v nějakém bodě A, pak též přímka PB, kde bod B leží na polopřímce P za bodem A, protíná přímku p, ale zároveň i úsečku SQ v nějakém jejím vnitřním bodě C. Avšak vnitřní body úsečky SQ náležejí do první shora uvedených částí, na něž jsme rozlomili úsečku P, a tedy spojnice bodů PC nemůže protnout přímku p, což je spor.

Ze všech přímek, které procházejí bodem P a neprotínají přímku p, svírá tedy přímka PS nejmenší úhel s přímkou P P . Přímku PS nazýváme souběžkou přímky p v bodě P. Druhou souběžkou přímky p v bodě P je pak přímka souměrná s přímkou PS podle osy P P .

Směr od bodu P k bodu S na přímce PS nazýváme směrem souběžnosti souběžky PS s přímkou p v bodě P.

Úhel SP nazýváme úhlem souběžnosti bodu P s přímkou p. Zřejmě tento úhel je vždy ostrý.

Tvrzení 1. Buď s souběžka p v bodě P, buď Q bod ležící na přímce s. Potom přímka s je souběžkou přímky p v bodě Q a její směr souběžnosti s přímkou p je v bodě Q týž jako v bodě P.

Důkaz. Buďte P , Q paty kolmic spuštěných z bodů P, Q na přímku p. Buď q souběžka přímky p v bodě Q, jejíž směr souběžnosti míří z bodu Q do téže poloroviny určené přímkou Q jako směr souběžnosti přímky s v bodě P. Předpokládejme, že přímky s, q jsou různé. Na přímce q zvolme bod A různý od bodu Q tak, aby směr od bodu Q k bodu A mířil do téže poloroviny určené přímkou Q jako směr od bodu P k bodu Q (viz obr. 10, 11). Přímka PA svírá s přímkou P P úhel menší, než je úhel souběžnosti bodu P s přímkou p, a protne tedy přímku p v bodě B. Odtud je patrno, že přímka q protne stranu Q trojúhelníku A, což je spor.

Jakmile jsme dokázali toto tvrzení, nemusíme již dodávat, v kterém svém bodě je přímka s souběžkou přímky p a v kterém bodě je míněn směr souběžnosti s přímkou p.

Tvrzení 2. (a) Buďte p, q různé přímky, buď u přímka protínající přímku p v bodě P a přímku q v bodě Q, kde P, Q jsou různé body. Nechť součet vnitřních úhlů, které svírají přímky p, q s přímkou u po její jedné straně je roven dvěma úhlům pravým.

Potom lze vytvořit společno kolmici přímek p, q.

(b) Buď q souběžka přímky p. Potom přímky p, q nemohou mít žádnou společnou kolmici. Důkaz. (a) Buď střed úsečky P, Q, buď A bod, jenž je patou kolmice spuštěné z bodu S na přímku p, buď B bod ležící na přímce q na druhé straně přímky u než bod A, přičemž úsečky AP, BQ jsou stejně dlouhé. Protože úhly APS, SQB jsou stejně veliké, jsou trojúhelníky SPA, SQB shodné. Přímka SB je tedy kolmá na přímku q. Protože také úhly QSB, PSA jsou stejně veliké, leží body A, S, B na přímce. Přímka AB je tedy společnou kolmicí přímek p, q (viz obr. 12).

(b) Buď R bod ležící na přímce q, buď R pata kolmice spuštěné z bodu R na přímku p. Nechť přímka q je kolmá na přímku R R . Poněvadž q je souběžkou přímky p, je její souběžkou i v bodě R, a tedy úhel souběžnosti bodu R s přímkou p je pravý, což je spor.

Vzdáleností bodu X od přímky p rozumíme délku úsečky X X , kde X je pata kolmice spuštěné z bodu X na přímku p. Ze všech bodů ležících na přímce p má bod X nejmenší vzdálenost od bodu X, což okamžitě nahlédneme, uvědomíme-li si, že v pravoúhlém trojúhelníku je přepona delší než kterákoliv odvěsna. To je opět bezprostředním důsledkem tvrzení, podle něhož v trojúhelníku proti delší straně leží větší úhel, které dokážeme následujícím způsobem. Nechť strana AB v trojúhelníku ABC je delší než strana AC. Buď D bod na úsečce AB takový, že úsečka AD je stejně dlouhá jako úsečka AB (viz obr. 13). Trojúhelník ACD je rovnoramenný, a tedy úhel ACD je stejně veliký jako úhel ADC. Úhel ACB je větší než úhel ACD a podle tvrzení 1 z předcházejícího pojednání o úhlech je úhel ADC větší než úhel ABC.

Tvrzení 3. Buď q souběžka přímky p. Buďte P, Q různé body ležící na přímce q. Nechť směr od bodu P k bodu Q je směrem souběžnosti přímky q s přímkou p. Potom bod P má od přímky p větší vzdálenost než bod Q.

Důkaz. Buďte P , Q paty kolmic spuštěných z bodů P, Q na přímku p. Předpokládejme, že úsečka Q je delší než úsečka P . Buď R bod na úsečce Q takový, že úsečka Q je stejně dlouhá jako P P (viz. obr. 14). Potom PQ je Saccheriho čtyřúhelník a podle tvrzení o souměrnosti těchto čtyřúhelníků je přímka PR kolmá na přímku EF, kde E je střed úsečky PQ a F je střed úsečky PR. Podle tvrzení 3 ze šesté kapitoly prvních Rozprav přímka PR nikdy neprotne přímku p. Je-li bod R různý od bodu Q, pak přímka PR svírá s přímkou P P menší úhel, než je úhel souběžnosti bodu P s přímkou p, což je spor. Je-li R = Q, pak bod F leží na přímce q a přímka EF je společnou kolmicí přímek p, q, což je ve sporu s tvrzením 2.

Dokázali jsme tedy, že bude-li se bod X pohybovat po souběžce q přímky p ve směru souběžnosti, bude se jeho vzdálenost od přímky p zmenšovat. Bude-li se však pohybovat v opačném směru, bude se jeho vzdálenost od přímky p zvětšovat.

Dokonce lze dokázat, že zvolíme-li předem nějakou délku, rozumí se nenulovou, pak bude-li se bod X pohybovat po souběžce q přímky p ve směru souběžnosti do nekonečna, jeho vzdálenost od přímky p jednou klesne pod tuto předem zvolenou délku. Podobně lze dokázat, že zvolíme-li předem nějakou délku, pak bude-li se bod X pohybovat po této souběžce do nekonečna ve směru opačném, jeho vzdálenost od přímky p jednou přeroste tuto délku. Tato tvrzení však již dokazovat nebudeme, čímž umožníme čtenáři, aby si uvědomil, že není tak snadné vymýšlet důkazy různých tvrzení o našem odsouzeném světě, jako již vymyšlené důkazy číst.

Tvrzení 4. Nechť bod P má od přímky p stejnou vzdálenost jako bod Q od přímky q; nechť tato vzdálenost je nenulová. Potom úhel souběžnosti bodu P s přímkou p je stejně veliký jako úhel souběžnosti bodu Q s přímkou q.

Důkaz plyne triviálně ze shodnosti vhodných trojúhelníků.

Tvrzení 5. Nechť bod P má od přímky p větší vzdálenost než bod Q od přímky q; nechť tyto vzdálenosti jsou nenulové. Potom úhel souběžnosti bodu P s přímkou p je menší než úhel souběžnosti bodu Q s přímkou q.

Důkaz. Podle předcházejícího tvrzení můžeme rovnou předpokládat, že přímky p,q jsou totožné a že bod Q je vnitřním bodem úsečky P P , kde P je pata kolmice spuštěné z bodu P na přímku p. Buď r souběžka přímky p vedená bodem Q (viz obr. 15). Buď M bod ležící v té polorovině určené přímkou P P , do níž míří směr souběžnosti přímky r s přímkou p;

nechť úhel MP je stejně velký jako úhel souběžnosti bodu Q s přímkou p. Přímky PM, r svírají s přímkou P po jedné její straně vnitřní úhly, jejichž součet je roven dvěma úhlům pravým, a tudíž se nikdy neprotnou. Podle tvrzení 2 přímka PM není souběžkou přímky r. Buď N bod ležící uvnitř úhlu MPQ takový, že přímka PN je souběžkou přímky r. Přímka PN neprotne přímku r, a tedy ani přímku p. To znamená, že souběžka přímky p vedená bodem P svírá s přímkou P P úhel nejvýše takový jako přímka PN, a tedy menší než úhel MP P .

Tvrzení 6. Nechť q je souběžka přímky p. Potom p je souběžka přímky q.

Důkaz. Buď P bod ležící na přímce q, buď P pata kolmice spuštěná z bodu P na přímku p. Dokážeme, že přímka p je souběžkou přímky q vedenou bodem P , a sice ve směru, jenž míří to téže poloroviny určené přímkou P P jako směr souběžnosti přímky q s přímkou p v bodě P. Předpokládejme, že tomu tak není. Potom lze v této polorovině nalézt bod m takový, že přímka P je ve směru od bodu P k bodu M souběžkou přímky q a úhel P je ostrý (viz obr. 16). Buď R pata kolmice spuštěné z bodu M na přímku P P . Zřejmě bod R je vnitřním bodem úsečky P P . Podle tvrzení 5 je úhel souběžnosti bodu P s přímkou p menší než úhel souběžnosti bodu P s přímkou RM, a tudíž přímky q, RM se protnou v nějakém bodě A. Přímka P M protne stranu RA trojúhelníka PRA a neprotne stranu PR, neboť přímku PR protíná v bodě P, jenž neleží na úsečce PR. To ale znamená, že přímka P M protne stranu PA, a tedy i přímku q, což je spor.

Řekneme-li tedy, že přímky p,q jsou souběžky, pak již není třeba dodávat, která je souběžkou které.

Tvrzení 7. Buďte r, p, q různé přímky a nechť přímka r je v témže směru souběžkou přímek p, q. Potom přímky p, q jsou souběžky.

Důkaz. Nechť nejprve přímka r leží mezi přímkami p, g (viz obr. 17). Buď P bod ležící na přímce p, buď Q pata kolmice spuštěné z bodu P na přímku q. Buď c souběžka přímky q vedená bodem P, jejíž směr souběžnosti míří do téže poloroviny určené přímkou PQ jako směr souběžnosti přímky r. Nechť p, c jsou různé. Potom ale přímka c protne přímku r v nějakém bodě A, neboť p je souběžkou přímky r. Poněvadž přímka r je souběžkou přímky Q v bodě A, protne přímka c též přímku q, což je spor. Nechť tedy například přímka q leží mezi přímkami p, r (viz obr. 18). Buď P bod ležící na přímce p, buď R pata kolmice spuštěné z bodu P na přímku r, buď Q průsečík přímky q s přímkou PR. Přímky p, q se nikdy neprotnou. Kdyby se totiž protly v nějakém bodě A, pak by tento bod musel ležet v té polorovině určené přímkou PR, do níž míří směr souběžnosti přímky r, neboť P má menší úhel souběžnosti s přímkou r než bod Q. Protože ale q je souběžkou přímky r v bodě A, musela by přímka p protnout přímku r, neboť v bodě A svírá s kolmicí na přímku r úhel menší než přímka q. Nechť c je vhodná souběžka přímky q vedená bodem P. Předpokládejme, že přímky p, c jsou různé. Poněvadž přímka p je souběžkou přímky r v bodě P, protne přímka c přímku r. V důsledku toho protne i přímku q, což je spor.

Přímky p, q, které se nikdy neprotnou a nejsou souběžky, se nazývají rozběžky.

Bodem P, jenž neleží na přímce p, lze tedy vést právě dvě souběžky přímky p a nekonečně mnoho rozběžek.

Důmyslný důkaz následujícího tvrzení pochází od Davida Hilberta, a není to tedy původní důkaz tohoto tvrzení.

Tvrzení 8. Buďte p, q rozběžky. Potom lze vytvořit přímku, která je kolmá na obě tyto přímky.

Důkaz. Buďte P, Q, S různé body ležící na přímce p takové, že bod Q leží na úsečce PS. Buďte P , S , Q paty kolmic spuštěných z bodů P, S, Q na přímku q. Jsou-li úsečky P , Q stejně dlouhé, je PQ Saccheriho čtyřúhelník a podle tvrzení o souměrnosti těchto čtyřúhelníků je spojnice středů úseček PQ , PQ kolmá na přímky PQ , PQ. Nechť tedy například úsečka Q má menší délku než úsečka PQ. Buď R bod ležící na úsečce P takový, že úsečky R , Q mají stejnou délku (viz obr. 19). Buď RN přímka taková, že úhel NR je stejně veliký jako úhel SQ , kde N je bod ležící v téže polorovině určené přímkou P jako bod Q. Buď Q souběžka přímky p, přičemž směry souběžnosti těchto přímek jsou směry od bodu Q k bodu M a od bodu Q k bodu S. Buď H takový bod, že úhly H , M jsou stejně veliké a bod H leží v téže polorovině určené přímkou p jako bod M.

Podle tvrzení 2 jsou přímky Q, P rozběžky. Přímky RN, p se protnou v nějakém bodě A, neboť v opačném případě by souběžka přímky p vedená bode Q svírala s přímkou q větší úhel než přímka Q, to je alespoň takový úhel, jaký s přímkou q svírá souběžka přímky P vedená bodem Q. Buď B bod ležící na téže polopřímce přímky p určené bodem p jako bod Q; nechť úsečky QB, RA mají stejnou délku. Buďte A , B paty kolmic spuštěných z bodů A, B na přímku q. Jak je okamžitě patrno, čtyřúhelníky PA, QB jsou shodné, a tedy úsečky A , B mají stejnou délku. Odtud plyne, že AB AB je Saccheriho čtyřúhelník, a tedy přímka spojující středy úseček AB , AB je kolmá na přímky p, q. Uvědomme si, že žádné dvě různé přímky nemohou mít dvě různé společné kolmice, neboť by tím vznikl čtyřúhelník, v němž je součet úhlů roven čtyřem úhlům pravým.

Z předcházejících úvah plyne, že dvě neprotínající se přímky p, q jsou souběžky právě tehdy, když nemají žádnou společnou kolmici, a rozběžky právě tehdy, když mají právě jednu společnou kolmici.

Tvrzení 9. Buťe p, q rozběžky. Buďte body P, Q body ležící postupně na přímkách p, q takové, že přímka PQ je kolmá na obě přímky p, q. Buďte X, Y body ležící na přímce p, přičemž bod X leží na úsečce PY. Potom bod Y má větší vzdálenost od přímky q než bod X.

Důkaz. Buďte X , Y paty kolmic spuštěných z bodů X, Y na přímku q (viz obr. 20). Protože součet úhlů ve čtyřúhelníku je menší než čtyři úhly pravé, je úhel PX ostrý, a v důsledku toho úhel YX je tupý. Kdyby úsečky X , Y měly stejnou délku, byl by XY Saccheriho čtyřúhelník, a tedy spojnice středů úseček XY , XY by byla druhou společnou kolmicí přímek p,q. Nechť tedy úsečka X X má větší délku než úsečka Y . Buď Z bod ležící na úsečce X X takový, že úsečky Z , Y jsou stejně dlouhé. Potom XY je Saccheriho čtyřúhelník, a tedy podle tvrzení o Saccheriho čtyřúhelníku je úhel YZ ostrý. Podle tvrzení 1 z pojednání o úhlech je úhel YZ větší než úhel YX , a tedy i úhel YX je ostrým, což je spor.

Bude-li se tedy bod X pohybovat po jedné ze dvou rovnoběžek od jejich společné kolmice, ať už v jednom či druhém směru, bude se jeho vzdálenost od druhé rovnoběžky zvětšovat. Také v tomto případě lze dokázat, že bude-li se pohybovat do nekonečna, pak ať předem zvolíme jakoukoliv délku, jednou jeho vzdálenost od druhé rovnoběžky tuto délku přeroste.

Rovněž důkaz posledního tvrzení, které v tomto oddíle uvedeme, přebíráme z Hilberta, a to především proto, abychom ho zpřístupnili širšímu okruhu českých čtenářů. Pro větší přehlednost dokážeme nejprve následující tvrzení.

Tvrzení 10. Buď p přímka, P bod, jenž na ní neleží, P pata kolmice spuštěné z bodu P na přímku p. Buď A bod různý od bodu P, ležící v téže polorovině určené přímkou p jako bod P, a nechť úhel AP je ostrý. Buď B bod souměrný k bodu A podle přímky P P . buďte A , B paty kolmic spuštěných z bodů A,B na přímku p. Buď a souběžka přímky PB vedená bodem A, přičemž směr od bodu P k bodu B je směrem souběžnosti. Nechť přímka A A půlí úhel přímek PA, a. Potom přímka p je souběžkou přímek PA, PB (viz obr. 21).

Důkaz. Buď b přímka souměrná s přímkou a podle přímky P P . Zřejmě b je souběžka přímky PA. Buďte a , b souběžky přímky PA ve směru od bodu P k bodu A, procházející body A , B ; nechť alespoň jedna z nich je různá od přímky p. Buď C pata kolmice spuštěné z bodu A na přímku PA, buď D pata kolmice spuštěné z bodu B na přímku b. Protože také přímka B půlí úhel přímek PB, b jsou trojúhelníky A, B shodné. V důsledku toho přímky a , b svírají s přímkou p stejné úhly. Podle tvrzení 2 jsou a , b rovnoběžky. Podle tvrzení 7 jsou to však souběžky, což je spor. Přímky a , b jsou tedy totožné s přímkou p, v důsledku čehož je přímka p souběžkou přímky PA. Podobně dokážeme, že přímka p je souběžkou přímky PB.

Tvrzení 11. Buď ostrý úhel. Potom lze nalézt bod P a přímku p takovou, že úhel souběžnosti bodu P s přímkou p má velikost .

Důkaz. Buďte P, A, B různé body takové, že úsečky PA, PB jsou stejně dlouhé a úhel APB má velkost 2 (viz obr. 22). Buď a souběžka přímky PB ve směru od bodu P k bodu B vedená bodem A. Buď přímka b souměrná s přímkou a podle osy q úhlu APB.

Zřejmě b je souběžka přímky PA ve směru bodu P k bodu A. Buď c přímka, která prochází bodem A a půlí ten úhel přímek PA, a, v němž neleží přímka AB. Buď d přímka souměrná k přímce c podle osy q. Zřejmě přímka d půlí odpovídající úhel přímek PB, b. Přímky PB, a svírají na té straně přímky PA, na níž leží bod B, s přímkou PA vnitřní úhly, jejichž součet je menší než dva úhly pravé. Odtud snadno nahlédneme, že přímky c,d svírají na té straně přímky AB, na níž neleží bod P, s přímkou AB vnitřní úhly, jejichž součet je menší než dva pravé úhly. Jestliže se tedy přímky c, d protínají, pak v té polorovině určené přímkou AB, v níž neleží bod P; jestliže přímky c, d jsou souběžky, pak jejich směr souběžnosti míří od bodů A, B do této poloroviny; jestliže přímky c, d jsou rozběžky, pak jejich společná kolmice leží v této polorovině. Dokážeme, že přímky c, d jsou rovnoběžky. Jakmile to bude dokázáno, pak hledanou přímkou p bude jejich společná kolmice, neboť podle předcházejícího tvrzení je tato přímka souběžkou přímek PA, PB, a tedy úhel souběžnosti bodu P s touto přímkou má velikost . Předpokládejme, tedy nejprve, že přímky c, d se protnou v nějakém bodě M. Zřejmě bod M leží na přímce q a úsečky AM, BM mají stejnou délku. Buď r souběžka přímky PA ve směru od bodu P k bodu A, která prochází bodem M. Podle tvrzení 7 jsou také přímky r, b souběžky. Protože úhel, který svírá přímka MA s polopřímkou přímky PA určenou bodem A, na níž neleží bod P, a úhel, který svírá přímka MB s polopřímkou přímky b určenou bodem B a jejím směrem souběžnosti s přímkou PA, mají stejnou velikost, je úhel souběžnosti bodu M s přímkou PA stejně veliký jako úhel souběžnosti bodu M s přímkou b. V důsledku toho svírá polopřímka přímky r určená bodem M a směrem souběžnosti s přímkami PA, b stejně velký úhel jak s polopřímkou MA, tak i s polopřímkou MB. Druhý z těchto úhlů je však evidentně větší, což je spor. Předpokládejme tedy, že přímky c, d jsou souběžky. Buď C průsečík přímek b, c; tyto přímky se protnou, neboť přímka PA je souběžkou přímky b. Bod C neleží na přímce q, neboť v opačném případě by ležel i na přímce d, která je s přímkou c souměrná podle osy q; přímky c,d by se tedy protly. Dokážeme však, že úsečky CA, CB jsou stejně dlouhé, což bude spor. Nechť tedy B' je bod ležící na polopřímce CB, různý od bodu B a úsečky CA, CB' jsou stejně dlouhé. Buď b' souběžka přímky c vedená bodem B'. Úhel, který svírá polopřímka CB' s polopřímkou c určenou bodem C a směrem souběžnosti s přímkou d, je stejně veliký jako úhel, který svírá polopřímka CA s polopřímkou přímky b určenou bodem C a směrem souběžnosti s přímkou PA. V důsledků toho musí souběžka b' přímky c vedená bodem B' svírat s polopřímkou B'C stejně velký úhel jako souběžka přímky b vedená bodem A s polopřímkou AC. Druhý z těchto úhlů je však stejně veliký jako úhel, který svírá polopřímka přímky d určená bodem B s polopřímkou BC. Přímky b', d tady svírají s přímkou BC po jedné straně vnitřní úhly, jejichž součet je roven dvěma úhlům pravým. Podle tvrzení 2 jsou přímky b', d rozběžky. Přímka c je však jejich společnou souběžkou, a sice v témž směru. Podle tvrzení 7 jsou tedy b', d souběžky.

Uvědomíme-li si některé bezprostřední důsledky právě dokázaného tvrzení, rázem je zařadíme mezi nejpodivnější z těch, které jsme až dosud o našem odsouzeném geometrickém světě dokázali.

Tak například ať zvolíme jakkoliv malý úhel, pak vždy uvnitř tohoto úhlu lze vést přímku, která nikdy neprotne jeho ramena. Stačí totiž vést přímku kolmou na osu tohoto úhlu ve vzdálenosti od vrcholu, která je stejně velká, nebo větší než vzdálenost bodu P od přímky p, jehož úhel souběžnosti s přímkou p je roven polovině tohoto zvoleného úhlu.

Vytváříme-li pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky o stále větších rozměrech, pak délky jejich výšek jsou shora omezeny délkou k, kde k je vzdálenost bodu P od přímky p, jehož úhel souběžnosti s touto přímkou je roven polovině úhlu pravého.

Zvolíme-li dvě kolmé přímky p, q protínající se v bodě S a vedeme vždy v dané vzdálenosti od bodu S přímky kolmé na tyto přímky, budou zprvu vznikat čtyřúhelníky o stejně dlouhých stranách. Jakmile však tato vzdálenost dosáhne dříve uvedené délky k, utečou vrcholy těchto čtyřúhelníků do nekonečna, a tedy jejich "sousední" strany se nikdy neprotnou.

Absolutní délky

Za pokračovatele v díle Saccheriho může být s jistými výhradami považován Johann H. Lambert. Tento matematik byl však příliš lákán vidinou sporu a nenalezl v sobě dostatek sebezapření, které je nezbytné k všestrannému a trpělivému osvětlování předem odsouzeného světa. Nepřispěl proto k poznávání našeho odsouzeného geometrického světa nějakými tvrzeními, o nichž bychom mohli říci, že jsou podstatně nová oproti těm, která již dokázal Saccheri. Povšiml si však pozoruhodného jevu, jenž Saccherimu unikl, ačkoliv jej měl tak říkajíc ležet před očima. Tímto jevem jsou korespondence mezi délkami úseček a velikostmi úhlů.

Nebudeme se zdržovat popisem té korespondence mezi délkami úseček a velikostmi úhlů, kterou se zabýval Lambert, ale rovnou se zaměříme na tu, které byla později dávána přednost, a k jejímuž popisu jsme si v předcházejícím oddíle připravili vše potřebné.

Poměrně jednoduchá tvrzení 4 a 5 tuto korespondenci již navozují. Je-li nějaká délka úsečky, pak této délce odpovídá velikost úhlu souběžnosti bodu P s přímkou p, od níž má bod P vzdálenost d. Zřejmě každé délce úsečky odpovídá v této korespondenci právě jeden ostrý úhel. Z tvrzení 11 pak plyne, že také naopak, každé velikosti ostrého úhlu odpovídá právě jedna délka úsečky. Budeme-li v dalším hovořit o korespondenci mezi délkami úseček a velikostmi úhlů, budeme mít na mysli korespondenci právě popsanou.

Velikosti některých úhlů, jako například úhlu pravého a podobně, jsou absolutní. To znamená, že to jsou ideje, jak bychom řekli v platónském pojetí geometrie. V každém případě to jsou pojmy trvalé, neboť jev pravého úhlu, poloviny pravého úhlu a podobně, jsou jevy obnovitelné.

Zanikne-li pravoúhlý trojúhelník, na němž jsme evidovali pravý úhel, pak se nám asi nepodaří znovu vytvořit týž trojúhelník, avšak pravý úhel se nám znovu vytvořit podaří.

V našem odsouzeném geometrickém světě jsou však absolutní i některé délky úseček, totiž ty, které ve shora popsané korespondenci odpovídají absolutním velikostem úhlů. Tomu je ovšem nutno rozumět tak, že kdyby se nám místo klasického geometrického světa otevřel takovýto svět, a to stejným způsobem, tedy jako cosi naprosto strnulého a neměnného, alespoň co se týče jeho prostoru, pak by v něm i tyto délky úseček byly absolutní. Kdyby reálný prostor byl totožný s prostorem tohoto odsouzeného geometrického světa, pak by z toho plynul zvlášť pozoruhodný důsledek pro reálný svět. Mohli bychom v něm totiž stanovit nějakou jednotkovou délku, a přitom bychom nebyli nuceni přechovávat ji na nějakém objektu, neboť i kdyby zanikly všechny reálné objekty, které mají tuto délku, mohli bychom ji kdykoliv obnovit, podobně jako můžeme kdykoliv znovu obnovit pravý úhel.

Za základní neboli jednotkovou délku v našem odsouzeném geometrickém světě můžeme prohlásit například takovou délku, jíž v prve popsané korespondenci odpovídá velikost poloviny pravého úhlu. Této délce budeme říkat parametr našeho odsouzeného světa.

Z předcházejících úvah je patrno, že parametr je nejmenší ze všech délek úseček, kterou nemůže mít výška žádného pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníka. Je to také nejmenší délka taková, že vytvoříme-li dvě navzájem kolmé přímky p,q protínající se v bodě S, pak přímky vedené v této vzdálenosti od bodu S kolmo na přímky p, q se neprotínají (viz obr. 23).

Důsledků, plynoucích z korespondence mezi délkami úseček a velikostmi úhlů, si byl vědom A. M. Légendre, který je ještě v roce 1833 považoval za konečné zhroucení našeho odsouzeného světa. Uvažoval v podstatě tak, že není možné, aby geometrické konstrukce závisely na délce zvolené jednotkové úsečky, v důsledku čehož je nemyslitelné, aby například k nějaké délce bylo možné vytvořit pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, jehož výška má tuto délku, a k nějaké jiné délce to již možné nebylo. Tím nám ovšem poskytl ukázkový příklad toho, jak hluboce byla mezi geometry zakořeněná důvěra v takto jednoduše se ve světě projevující Boží nezáludnosti.

Snahy o rozbití odsouzeného světa reálným světem

Nedaří-li se nám přivést náš odsouzený geometrický svět k vnitřnímu zhroucení, to je nedovedeme-li v něm nalézt spor, jenž by nám umožnil vyložit si jej jako sporný s rozumem, zbývá stále ještě možnost přivést jej ke sporu prostřednictvím reálného světa. Tuto možnost ovšem máme proto, že jsme ztotožnili reálný prostor s prostorem geometrickým. Mezi těmito prostory nerozlišujeme, a můžeme tedy některé poznatky o geometrickém prostoru získávat z prostoru reálného, a to tak, že si v reálném prostoru ověříme, zda tam to či ono tvrzení platí či neplatí.

Protože nejdůležitějšími geometrickými objekty, jichž se týkají tvrzení, která bychom chtěli popřít, jsou přímky, musíme si nejprve ujasnit, co jsou přímky v reálném prostoru. Zjevná příbuznost mezi geometrickým viděním a viděním zrakovým nám posouvá za přímky v reálném prostoru světelné paprsky. Abychom se přiblížili době, o níž píšeme, budeme i my vykládat světelné paprsky jako přímky, přestože tento výklad byl později prohlášen za mylný.

Vycházíme-li z právě uvedeného výkladu, okamžitě obdržíme následující výsledek. Parametr našeho odsouzeného světa musí být tak velký, že úsečka této délky se nevejde před obzor ohraničující tehdejší možnosti měření délek v reálném prostoru. Tak například tento parametr nemůže být menší než jeden centimetr, neboť není pravda, že bychom nemohli vytvořit pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, jehož výška je větší než jeden centimetr. Abychom se o tom přesvědčili, stačí přeměřit výšku pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníka skrytého pod obrázkem 24. Podobně tento parametr musí být větší než deset metrů, neboť vytvoření pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníka o výšce větší než deset metrů nám rozhodně nebude dělat potíže.

Avšak nejen to, podle našich astronomických pozorování musí být tento parametr nepoměrně větší než poloměr Země, jak poznamenává Gauss.

Vskutku, kdyby tento parametr byl roven například poloměru Země, pak pozorováno na rovníku, musela by hvězda H, ležící v rovině rovníku a vycházející dejme tomu v 21 hodinu, být ve 24 hodiny již v nadhlavníku a zapadat by musela ve 3 hodiny ráno. Zbývajících 18 hodin by byla skrytá za obzorem (viz obr. 25). Krátce řečeno, v daném okamžiku bychom viděli pouze čtvrtinu dráhy této hvězdy; ve skutečnosti však vidíme téměř polovinu její dráhy.

Právě provedenými úvahami jsme sice umístili parametr našeho odsouzeného světa až někam mezi obrovské velikosti, ale zrušit jej úplně se nám zatím nepodařilo. Nicméně i tento výsledek by v nás mohl vzbudit naději, že cesta, po níž jsme se vydali, nás dovede ke zdárnému konci. Mohli bychom totiž uvažovat například následujícím způsobem.

Dejme tomu, že parametr je nějaká obrovská délka, lhostejno jaká. Vytvořme přímku p a bod P, jenž se od ní nachází ve vzdálenosti rovné parametru. V rovině r určené bodem P a přímkou p veďme bodem P souběžky c, d přímky p. Zřejmě přímky c, d jsou navzájem kolmé. Vzdalme se nyní od roviny r po kolmici vedené k této rovině v bodě P tak daleko, abychom z této vzdálenosti měli bod P a přímky p, c, d tak říkajíc "jako na dlani"; podobně jako odtud ze Země jsme schopni přehlédnout celou vzdálenost mezi stálicemi Castorem a Polluxem. Úhel přímek c, d se nám bude i z této vzdálenosti jevit jako úhel pravý. Z takovéhoto odstupu ovšem již snadno prodloužíme přímky c, d tak, aby protly přímku p, neboť délku parametru se nám podařilo umístit před obzor.

Tato úvaha je však nesprávná a odhalení omylu v ní obsaženého je poučné. Když jsme se totiž jednou rozhodli vykládat světelné paprsky jako přímky, pak se musíme tohoto výkladu držet důsledně. I paprsky vycházející z našeho oka musíme tedy podřídit zákonům prostoru našeho odsouzeného geometrického světa. Nebylo by žádným uměním dospět ke sporu, kdybychom si během téže úvahy vykládali chování světelných paprsků různými způsoby. Abychom měli bod P a přímky p, c, d před sebou jako na dlani, musíme se dívat na rovinu r ze vzdálenosti větší než parametr. To ale znamená, že rovinu r protínající pouze ty paprsky vycházející z našeho oka, které leží uvnitř světelného kužele, jehož povrchové přímky svírají s kolmicí na rovinu r úhel stejně veliký jako úhel souběžnosti bodu, v němž se nachází naše oko, s rovinou r. Díváme-li se po přímce, která neleží uvnitř tohoto kužele, pak se na rovinu r nedíváme, neboť tato přímka rovinu r neprotne. Celá rovina r se nám tedy jeví jako kruh; co neleží uvnitř tohoto kruhu, to již do roviny r nepatří. Námi prodloužené přímky c, d protnou přímku p na obvodě tohoto kruhu;

to co považujeme za jejich průsečíky jsou jen zdánlivé průsečíky, neboť přímky spojující naše oko s těmito "průsečíky" rovinu r neprotnou (viz obr. 26). Pozoruhodné ovšem je, že z takovéto vzdálenosti bychom byli schopni přehlédnout celou nekonečnou rovinu.

Přibližování velkých vzdáleností tedy nesmíme podřizovat zákonům klasického geometrického prostoru, neboť tím bychom činili předpoklad, že reálný prostor je klasickým geometrickým prostorem. Aby naše snahy byly úspěšné, museli bychom přivést ke sporu předpoklad, že reálný prostor je prostorem našeho odsouzeného geometrického světa. Odkrytím omylu v předcházející úvaze - a v řadě úvah podobných - se postupně utvrdíme v přesvědčení, že takovéto "zmenšování" parametru není schůdnou cestou k jeho popření.

K umísťování parametru našeho odsouzeného geometrického světa mezi stále větší a větší délky nemusíme zdokonalovat toliko naše schopnosti měřit stále větší a větší délky, ale můžeme toho dosahovat i zdokonalováním našich schopností měřit přesněji jednak velikosti úhlů, jednak délky nám dostupných úseček. Vyhledávání dolních odhadů velikosti parametru můžeme totiž stejně tak dobře opřít o tvrzení týkající se součtu úhlů v trojúhelníku. Zjistíme-li, že součet úhlů v nějakém trojúhelníku, jehož délky stran a velikosti úhlů jsme změřili, se liší od dvou úhlů pravých o nějakou velikost , která je větší než horní odhad chyb, jichž jsme se při těchto měřeních mohli dopustit, pak již odtud lze vypočítat, jak přinejmenším musí být parametr veliký. Postup, jakým to lze vypočítat, jsme sice neuvedli, ale zkušenějšímu čtenáři jistě nebude činit potíže nějaký takový postup sestavit. Protože však délky stran, ani velikosti úhlů naprosto přesně nezměříme, budeme muset vždy s nějakou chybou počítat. Jinými slovy, nikdy nebudeme měřit tak dokonale, abychom mohli s naprostou jistotou tvrdit, že v nějakém trojúhelníku je součet úhlů roven přesně dvěma úhlům pravým. Tak dokonale totiž neměří ani andělé, neboť ani oni nemohou zdokonalit svoje schopnosti nekonečněkrát, což by naprosto přesné měření vyžadovalo; na rozdíl od nás mohou pouze bez potíží měřit stále přesněji.

Naděje na rozbití našeho odsouzeného geometrického světa světem reálným tak pomalu vyhasínají. Byť bychom sebevíce zdokonalovali schopnosti měřit stále přesněji velikosti různých vzdáleností a úhlů, byť bychom si podmaňovali stále větší okolí reálného světa, může se nám dařit parametr odsouzeného geometrického světa pouze odsouvat mezi stále větší a větší velikosti, či lépe řečeno přesvědčovat se, že nám dostupné velikosti jsou oproti parametru velmi malé, ale v této chvíli nás nenapadá žádný způsob, jakým bychom mohli ukázat nemožnost parametru.

Přesto úvahy, které jsme prováděli, nejsou neplodné, neboť domyšleny do důsledků, mohou vzít překvapující obrat. Měřením velikostí úhlů v reálném světě sice nerozbijeme náš odsouzený geometrický svět, ale nelze vyloučit, že by se nám tímto způsobem mohlo podařit rozbít klasický geometrický svět. K tomu by došlo tehdy, kdybychom po změření úhlů v nějakém trojúhelníku zjistili, že odchylka jejich součtu od dvou úhlů pravých je větší než horní odhad chyb, kterých jsme se při tomto měření mohli dopustit. v takovém případě by pochopitelně součet úhlů v tomto trojúhelníku nebyl rovem dvěma úhlům pravým, což je ve sporu s tvrzením platným v klasickém geometrickém světě.

Úvahy tohoto druhu vedly Gausse k měření úhlů v trojúhelníku Brocken-Hohenhagen-Inselsgerg. Odchylka součtu úhlů od dvou pravých, kterou v tomto trojúhelníku naměřil, byla však v mezích možných chyb. Nicméně toto Gaussovo měření bylo nejvýznamnějším pokusem novověké přírodovědy od dob Galileových; pochopitelně ne z hlediska obdrženého výsledku, neboť tento pokus vlastně žádný výsledek nepřinesl, ale z hlediska úmyslu, s nímž byl prováděn. Všechny dosavadní pokusy byly prováděny v podstatě proto, aby vyvolaly jevy, které byly již předtím zpracovány čistým apriorním poznáním, a dosvědčily tak převahu tohoto poznání nad zkušeností, nebo aby odkryly jevy, které je třeba při apriorním zkoumání vyvolaného jevu brát v úvahu, případně jen přibrat v úvahu. Naproti tomu Gaussův pokus byl veden nedůvěrou v dosud všeobecně uznávaný základ apriorního přírodovědného poznání, a nadto nebyl prováděn proto, aby tuto nedůvěru zahladil - to se od něj totiž nedalo očekávat - ale aby ukázal, že tato nedůvěra je oprávněná.

Nebezpečí, že bychom mohli shora uvedeným způsobem rozbít klasický geometrický svět, nás vede k úvahám o tom, zda zjištění, že v reálném světě není součet úhlů v trojúhelníku roven dvěma úhlům pravým, vskutku mělo za následek zkázu klasického geometrického světa. Jinými slovy, zda bychom v takovém případě byli nuceni zavrhnout většinu toho, co bylo v geometrii vykonáno od doby Eukleidovy, a místo toho budovat od samého začátku novou geometrii.

K něčemu takovému bychom nuceni byli a nebyli. Nutil by nás k tomu reálný svět, ne však pouhý rozum. Pokud bychom chtěli i nadále setrvávat na stanovisku, že reálný prostor je totožný s prostorem geometrickým, které nám umožňuje vykládat geometrické poznatky jako poznatky o reálném světě, pak pro tento účel bychom museli starou geometrii zavrhnout, a místo ní urychleně vybudovat novou. Naproti tomu zjištění, že v reálném světě není součet úhlů v trojúhelníku roven dvěma úhlům pravým, které se navíc opírá o výklad světelných paprsků jakožto přímek, se přísně vzato klasického geometrického světa vůbec netýká, a proto je nemůžeme považovat za vnitřní zhroucení tohoto světa. Toto zjištění by nebylo sporem v klasickém geometrickém světě, a pouhý rozum by nás tedy nenutil dosavadní geometrii zavrhnout. Rozum by nás nutil pouze k přiznání, že reálný prostor není totožný s klasickým geometrickým prostorem a že tedy ztotožněním těchto prostorů jsme se dopustili omylu. Ostatně ani reálný svět by nás s neodbytnou naléhavostí nenutil k zavržení staré geometrie, neboť pokud bychom se zabývali jen malým okolím reálného světa a neměli příliš velké nároky na přesnost, stále by nám stará geometrie poskytovala dobré služby.