Dependency Tree

vesm9303_056

ProjectPDT

Select a sentence

Showing 101 - 200 of 339 • previous • next

s-101 Zřejmě bod R je vnitřním bodem úsečky P P .
s-102 Podle tvrzení 5 je úhel souběžnosti bodu P s přímkou p menší než úhel souběžnosti bodu P s přímkou RM, a tudíž přímky q, RM se protnou v nějakém bodě A.
s-103 Přímka P M protne stranu RA trojúhelníka PRA a neprotne stranu PR, neboť přímku PR protíná v bodě P, jenž neleží na úsečce PR.
s-104 To ale znamená, že přímka P M protne stranu PA, a tedy i přímku q, což je spor.
s-105 Řekneme-li tedy, že přímky p,q jsou souběžky, pak již není třeba dodávat, která je souběžkou které.
s-106 Tvrzení 7.
s-107 Buďte r, p, q různé přímky a nechť přímka r je v témže směru souběžkou přímek p, q.
s-108 Potom přímky p, q jsou souběžky.
s-109 Důkaz.
s-110 Nechť nejprve přímka r leží mezi přímkami p, g (viz obr. 17).
s-111 Buď P bod ležící na přímce p, buď Q pata kolmice spuštěné z bodu P na přímku q.
s-112 Buď c souběžka přímky q vedená bodem P, jejíž směr souběžnosti míří do téže poloroviny určené přímkou PQ jako směr souběžnosti přímky r.
s-113 Nechť p, c jsou různé.
s-114 Potom ale přímka c protne přímku r v nějakém bodě A, neboť p je souběžkou přímky r.
s-115 Poněvadž přímka r je souběžkou přímky Q v bodě A, protne přímka c též přímku q, což je spor.
s-116 Nechť tedy například přímka q leží mezi přímkami p, r (viz obr. 18).
s-117 Buď P bod ležící na přímce p, buď R pata kolmice spuštěné z bodu P na přímku r, buď Q průsečík přímky q s přímkou PR.
s-118 Přímky p, q se nikdy neprotnou.
s-119 Kdyby se totiž protly v nějakém bodě A, pak by tento bod musel ležet v té polorovině určené přímkou PR, do níž míří směr souběžnosti přímky r, neboť P má menší úhel souběžnosti s přímkou r než bod Q.
s-120 Protože ale q je souběžkou přímky r v bodě A, musela by přímka p protnout přímku r, neboť v bodě A svírá s kolmicí na přímku r úhel menší než přímka q.
s-121 Nechť c je vhodná souběžka přímky q vedená bodem P.
s-122 Předpokládejme, že přímky p, c jsou různé.
s-123 Poněvadž přímka p je souběžkou přímky r v bodě P, protne přímka c přímku r.
s-124 V důsledku toho protne i přímku q, což je spor.
s-125 Přímky p, q, které se nikdy neprotnou a nejsou souběžky, se nazývají rozběžky.
s-126 Bodem P, jenž neleží na přímce p, lze tedy vést právě dvě souběžky přímky p a nekonečně mnoho rozběžek.
s-127 Důmyslný důkaz následujícího tvrzení pochází od Davida Hilberta, a není to tedy původní důkaz tohoto tvrzení.
s-128 Tvrzení 8.
s-129 Buďte p, q rozběžky.
s-130 Potom lze vytvořit přímku, která je kolmá na obě tyto přímky.
s-131 Důkaz.
s-132 Buďte P, Q, S různé body ležící na přímce p takové, že bod Q leží na úsečce PS.
s-133 Buďte P , S , Q paty kolmic spuštěných z bodů P, S, Q na přímku q.
s-134 Jsou-li úsečky P , Q stejně dlouhé, je PQ Saccheriho čtyřúhelník a podle tvrzení o souměrnosti těchto čtyřúhelníků je spojnice středů úseček PQ , PQ kolmá na přímky PQ , PQ.
s-135 Nechť tedy například úsečka Q má menší délku než úsečka PQ.
s-136 Buď R bod ležící na úsečce P takový, že úsečky R , Q mají stejnou délku (viz obr. 19).
s-137 Buď RN přímka taková, že úhel NR je stejně veliký jako úhel SQ , kde N je bod ležící v téže polorovině určené přímkou P jako bod Q.
s-138 Buď Q souběžka přímky p, přičemž směry souběžnosti těchto přímek jsou směry od bodu Q k bodu M a od bodu Q k bodu S.
s-139 Buď H takový bod, že úhly H , M jsou stejně veliké a bod H leží v téže polorovině určené přímkou p jako bod M.
s-140 Podle tvrzení 2 jsou přímky Q, P rozběžky.
s-141 Přímky RN, p se protnou v nějakém bodě A, neboť v opačném případě by souběžka přímky p vedená bode Q svírala s přímkou q větší úhel než přímka Q, to je alespoň takový úhel, jaký s přímkou q svírá souběžka přímky P vedená bodem Q.
s-142 Buď B bod ležící na téže polopřímce přímky p určené bodem p jako bod Q;
s-143 nechť úsečky QB, RA mají stejnou délku.
s-144 Buďte A , B paty kolmic spuštěných z bodů A, B na přímku q.
s-145 Jak je okamžitě patrno, čtyřúhelníky PA, QB jsou shodné, a tedy úsečky A , B mají stejnou délku.
s-146 Odtud plyne, že AB AB je Saccheriho čtyřúhelník, a tedy přímka spojující středy úseček AB , AB je kolmá na přímky p, q.
s-147 Uvědomme si, že žádné dvě různé přímky nemohou mít dvě různé společné kolmice, neboť by tím vznikl čtyřúhelník, v němž je součet úhlů roven čtyřem úhlům pravým.
s-148 Z předcházejících úvah plyne, že dvě neprotínající se přímky p, q jsou souběžky právě tehdy, když nemají žádnou společnou kolmici, a rozběžky právě tehdy, když mají právě jednu společnou kolmici.
s-149 Tvrzení 9.
s-150 Buťe p, q rozběžky.
s-151 Buďte body P, Q body ležící postupně na přímkách p, q takové, že přímka PQ je kolmá na obě přímky p, q.
s-152 Buďte X, Y body ležící na přímce p, přičemž bod X leží na úsečce PY.
s-153 Potom bod Y má větší vzdálenost od přímky q než bod X.
s-154 Důkaz.
s-155 Buďte X , Y paty kolmic spuštěných z bodů X, Y na přímku q (viz obr. 20).
s-156 Protože součet úhlů ve čtyřúhelníku je menší než čtyři úhly pravé, je úhel PX ostrý, a v důsledku toho úhel YX je tupý.
s-157 Kdyby úsečky X , Y měly stejnou délku, byl by XY Saccheriho čtyřúhelník, a tedy spojnice středů úseček XY , XY by byla druhou společnou kolmicí přímek p,q.
s-158 Nechť tedy úsečka X X má větší délku než úsečka Y .
s-159 Buď Z bod ležící na úsečce X X takový, že úsečky Z , Y jsou stejně dlouhé.
s-160 Potom XY je Saccheriho čtyřúhelník, a tedy podle tvrzení o Saccheriho čtyřúhelníku je úhel YZ ostrý.
s-161 Podle tvrzení 1 z pojednání o úhlech je úhel YZ větší než úhel YX , a tedy i úhel YX je ostrým, což je spor.
s-162 Bude-li se tedy bod X pohybovat po jedné ze dvou rovnoběžek od jejich společné kolmice, ať už v jednom či druhém směru, bude se jeho vzdálenost od druhé rovnoběžky zvětšovat.
s-163 Také v tomto případě lze dokázat, že bude-li se pohybovat do nekonečna, pak ať předem zvolíme jakoukoliv délku, jednou jeho vzdálenost od druhé rovnoběžky tuto délku přeroste.
s-164 Rovněž důkaz posledního tvrzení, které v tomto oddíle uvedeme, přebíráme z Hilberta, a to především proto, abychom ho zpřístupnili širšímu okruhu českých čtenářů.
s-165 Pro větší přehlednost dokážeme nejprve následující tvrzení.
s-166 Tvrzení 10.
s-167 Buď p přímka, P bod, jenž na ní neleží, P pata kolmice spuštěné z bodu P na přímku p.
s-168 Buď A bod různý od bodu P, ležící v téže polorovině určené přímkou p jako bod P, a nechť úhel AP je ostrý.
s-169 Buď B bod souměrný k bodu A podle přímky P P .
s-170 buďte A , B paty kolmic spuštěných z bodů A,B na přímku p.
s-171 Buď a souběžka přímky PB vedená bodem A, přičemž směr od bodu P k bodu B je směrem souběžnosti.
s-172 Nechť přímka A A půlí úhel přímek PA, a.
s-173 Potom přímka p je souběžkou přímek PA, PB (viz obr. 21).
s-174 Důkaz.
s-175 Buď b přímka souměrná s přímkou a podle přímky P P .
s-176 Zřejmě b je souběžka přímky PA.
s-177 Buďte a , b souběžky přímky PA ve směru od bodu P k bodu A, procházející body A , B ;
s-178 nechť alespoň jedna z nich je různá od přímky p.
s-179 Buď C pata kolmice spuštěné z bodu A na přímku PA, buď D pata kolmice spuštěné z bodu B na přímku b.
s-180 Protože také přímka B půlí úhel přímek PB, b jsou trojúhelníky A, B shodné.
s-181 V důsledku toho přímky a , b svírají s přímkou p stejné úhly.
s-182 Podle tvrzení 2 jsou a , b rovnoběžky.
s-183 Podle tvrzení 7 jsou to však souběžky, což je spor.
s-184 Přímky a , b jsou tedy totožné s přímkou p, v důsledku čehož je přímka p souběžkou přímky PA.
s-185 Podobně dokážeme, že přímka p je souběžkou přímky PB.
s-186 Tvrzení 11.
s-187 Buď ostrý úhel.
s-188 Potom lze nalézt bod P a přímku p takovou, že úhel souběžnosti bodu P s přímkou p má velikost .
s-189 Důkaz.
s-190 Buďte P, A, B různé body takové, že úsečky PA, PB jsou stejně dlouhé a úhel APB má velkost 2 (viz obr. 22).
s-191 Buď a souběžka přímky PB ve směru od bodu P k bodu B vedená bodem A.
s-192 Buď přímka b souměrná s přímkou a podle osy q úhlu APB.
s-193 Zřejmě b je souběžka přímky PA ve směru bodu P k bodu A.
s-194 Buď c přímka, která prochází bodem A a půlí ten úhel přímek PA, a, v němž neleží přímka AB.
s-195 Buď d přímka souměrná k přímce c podle osy q.
s-196 Zřejmě přímka d půlí odpovídající úhel přímek PB, b.
s-197 Přímky PB, a svírají na té straně přímky PA, na níž leží bod B, s přímkou PA vnitřní úhly, jejichž součet je menší než dva úhly pravé.
s-198 Odtud snadno nahlédneme, že přímky c,d svírají na té straně přímky AB, na níž neleží bod P, s přímkou AB vnitřní úhly, jejichž součet je menší než dva pravé úhly.
s-199 Jestliže se tedy přímky c, d protínají, pak v té polorovině určené přímkou AB, v níž neleží bod P;
s-200 jestliže přímky c, d jsou souběžky, pak jejich směr souběžnosti míří od bodů A, B do této poloroviny;

Text view • Download CoNNL-U