Dependency Tree

vesm9303_056

ProjectPDT

Select a sentence

Showing 1 - 100 of 339 • previous • next

s-1 Otevření neeukleidovských geometrických světů
s-2 /Čtvrté rozpravy s geometrií, 3. část/
s-3 PETR VOPĚNKA
s-4 V dalším se tedy i my budeme opírat o tvrzení, že je-li ABC trojúhelník a vchází-li do něho přímka b vrcholem A, pak protíná stranu BC, a podobně i o tvrzení, že protíná-li přímka b stranu BC a neprochází-li vrcholem A, pak protíná buď stranu AB, nebo stranu AC, aniž bychom měli špatné svědomí, že tím provádíme cosi nedovoleného.
s-5 Buď Q nějaký bod ležící na přímce q, který je různý od bodu P.
s-6 Úsečku Q rozlomíme na dvě části.
s-7 První z nich je geometrickým místem bodů ležících na této úsečce, jejichž spojnice s bodem P nikdy neprotnou přímku p.
s-8 Druhá část je geometrickým místem bodů ležících na této úsečce, jejichž spojnice s bodem P protnou přímku p.
s-9 Leží-li bod X v první z těchto částí a leží-li bod Y na úsečce XQ, pak zřejmě i bod Y leží v první z těchto částí.
s-10 Podobně leží-li bod X ve druhé z těchto částí a leží-li bod Y na úsečce X , pak zřejmě i bod Y leží ve druhé z těchto částí.
s-11 Rozdělení úsečky P na tyto dvě části je tedy vskutku jejím rozlomením.
s-12 Buď S bod v němž k tomuto rozlomení dochází (viz obr. 9).
s-13 Přímka PS nikdy neprotne přímku p.
s-14 Kdyby ji totiž protla v nějakém bodě A, pak též přímka PB, kde bod B leží na polopřímce P za bodem A, protíná přímku p, ale zároveň i úsečku SQ v nějakém jejím vnitřním bodě C.
s-15 Avšak vnitřní body úsečky SQ náležejí do první shora uvedených částí, na něž jsme rozlomili úsečku P, a tedy spojnice bodů PC nemůže protnout přímku p, což je spor.
s-16 Ze všech přímek, které procházejí bodem P a neprotínají přímku p, svírá tedy přímka PS nejmenší úhel s přímkou P P .
s-17 Přímku PS nazýváme souběžkou přímky p v bodě P.
s-18 Druhou souběžkou přímky p v bodě P je pak přímka souměrná s přímkou PS podle osy P P .
s-19 Směr od bodu P k bodu S na přímce PS nazýváme směrem souběžnosti souběžky PS s přímkou p v bodě P.
s-20 Úhel SP nazýváme úhlem souběžnosti bodu P s přímkou p.
s-21 Zřejmě tento úhel je vždy ostrý.
s-22 Tvrzení 1.
s-23 Buď s souběžka p v bodě P, buď Q bod ležící na přímce s.
s-24 Potom přímka s je souběžkou přímky p v bodě Q a její směr souběžnosti s přímkou p je v bodě Q týž jako v bodě P.
s-25 Důkaz.
s-26 Buďte P , Q paty kolmic spuštěných z bodů P, Q na přímku p.
s-27 Buď q souběžka přímky p v bodě Q, jejíž směr souběžnosti míří z bodu Q do téže poloroviny určené přímkou Q jako směr souběžnosti přímky s v bodě P.
s-28 Předpokládejme, že přímky s, q jsou různé.
s-29 Na přímce q zvolme bod A různý od bodu Q tak, aby směr od bodu Q k bodu A mířil do téže poloroviny určené přímkou Q jako směr od bodu P k bodu Q (viz obr. 10, 11).
s-30 Přímka PA svírá s přímkou P P úhel menší, než je úhel souběžnosti bodu P s přímkou p, a protne tedy přímku p v bodě B.
s-31 Odtud je patrno, že přímka q protne stranu Q trojúhelníku A, což je spor.
s-32 Jakmile jsme dokázali toto tvrzení, nemusíme již dodávat, v kterém svém bodě je přímka s souběžkou přímky p a v kterém bodě je míněn směr souběžnosti s přímkou p.
s-33 Tvrzení 2.
s-34 (a) Buďte p, q různé přímky, buď u přímka protínající přímku p v bodě P a přímku q v bodě Q, kde P, Q jsou různé body.
s-35 Nechť součet vnitřních úhlů, které svírají přímky p, q s přímkou u po její jedné straně je roven dvěma úhlům pravým.
s-36 Potom lze vytvořit společno kolmici přímek p, q.
s-37 (b) Buď q souběžka přímky p.
s-38 Potom přímky p, q nemohou mít žádnou společnou kolmici.
s-39 Důkaz.
s-40 (a) Buď střed úsečky P, Q, buď A bod, jenž je patou kolmice spuštěné z bodu S na přímku p, buď B bod ležící na přímce q na druhé straně přímky u než bod A, přičemž úsečky AP, BQ jsou stejně dlouhé.
s-41 Protože úhly APS, SQB jsou stejně veliké, jsou trojúhelníky SPA, SQB shodné.
s-42 Přímka SB je tedy kolmá na přímku q.
s-43 Protože také úhly QSB, PSA jsou stejně veliké, leží body A, S, B na přímce.
s-44 Přímka AB je tedy společnou kolmicí přímek p, q (viz obr. 12).
s-45 (b) Buď R bod ležící na přímce q, buď R pata kolmice spuštěné z bodu R na přímku p.
s-46 Nechť přímka q je kolmá na přímku R R .
s-47 Poněvadž q je souběžkou přímky p, je její souběžkou i v bodě R, a tedy úhel souběžnosti bodu R s přímkou p je pravý, což je spor.
s-48 Vzdáleností bodu X od přímky p rozumíme délku úsečky X X , kde X je pata kolmice spuštěné z bodu X na přímku p.
s-49 Ze všech bodů ležících na přímce p má bod X nejmenší vzdálenost od bodu X, což okamžitě nahlédneme, uvědomíme-li si, že v pravoúhlém trojúhelníku je přepona delší než kterákoliv odvěsna.
s-50 To je opět bezprostředním důsledkem tvrzení, podle něhož v trojúhelníku proti delší straně leží větší úhel, které dokážeme následujícím způsobem.
s-51 Nechť strana AB v trojúhelníku ABC je delší než strana AC.
s-52 Buď D bod na úsečce AB takový, že úsečka AD je stejně dlouhá jako úsečka AB (viz obr. 13).
s-53 Trojúhelník ACD je rovnoramenný, a tedy úhel ACD je stejně veliký jako úhel ADC.
s-54 Úhel ACB je větší než úhel ACD a podle tvrzení 1 z předcházejícího pojednání o úhlech je úhel ADC větší než úhel ABC.
s-55 Tvrzení 3.
s-56 Buď q souběžka přímky p.
s-57 Buďte P, Q různé body ležící na přímce q.
s-58 Nechť směr od bodu P k bodu Q je směrem souběžnosti přímky q s přímkou p.
s-59 Potom bod P má od přímky p větší vzdálenost než bod Q.
s-60 Důkaz.
s-61 Buďte P , Q paty kolmic spuštěných z bodů P, Q na přímku p.
s-62 Předpokládejme, že úsečka Q je delší než úsečka P .
s-63 Buď R bod na úsečce Q takový, že úsečka Q je stejně dlouhá jako P P (viz. obr. 14).
s-64 Potom PQ je Saccheriho čtyřúhelník a podle tvrzení o souměrnosti těchto čtyřúhelníků je přímka PR kolmá na přímku EF, kde E je střed úsečky PQ a F je střed úsečky PR.
s-65 Podle tvrzení 3 ze šesté kapitoly prvních Rozprav přímka PR nikdy neprotne přímku p.
s-66 Je-li bod R různý od bodu Q, pak přímka PR svírá s přímkou P P menší úhel, než je úhel souběžnosti bodu P s přímkou p, což je spor.
s-67 Je-li R = Q, pak bod F leží na přímce q a přímka EF je společnou kolmicí přímek p, q, což je ve sporu s tvrzením 2.
s-68 Dokázali jsme tedy, že bude-li se bod X pohybovat po souběžce q přímky p ve směru souběžnosti, bude se jeho vzdálenost od přímky p zmenšovat.
s-69 Bude-li se však pohybovat v opačném směru, bude se jeho vzdálenost od přímky p zvětšovat.
s-70 Dokonce lze dokázat, že zvolíme-li předem nějakou délku, rozumí se nenulovou, pak bude-li se bod X pohybovat po souběžce q přímky p ve směru souběžnosti do nekonečna, jeho vzdálenost od přímky p jednou klesne pod tuto předem zvolenou délku.
s-71 Podobně lze dokázat, že zvolíme-li předem nějakou délku, pak bude-li se bod X pohybovat po této souběžce do nekonečna ve směru opačném, jeho vzdálenost od přímky p jednou přeroste tuto délku.
s-72 Tato tvrzení však již dokazovat nebudeme, čímž umožníme čtenáři, aby si uvědomil, že není tak snadné vymýšlet důkazy různých tvrzení o našem odsouzeném světě, jako již vymyšlené důkazy číst.
s-73 Tvrzení 4.
s-74 Nechť bod P má od přímky p stejnou vzdálenost jako bod Q od přímky q;
s-75 nechť tato vzdálenost je nenulová.
s-76 Potom úhel souběžnosti bodu P s přímkou p je stejně veliký jako úhel souběžnosti bodu Q s přímkou q.
s-77 Důkaz plyne triviálně ze shodnosti vhodných trojúhelníků.
s-78 Tvrzení 5.
s-79 Nechť bod P má od přímky p větší vzdálenost než bod Q od přímky q;
s-80 nechť tyto vzdálenosti jsou nenulové.
s-81 Potom úhel souběžnosti bodu P s přímkou p je menší než úhel souběžnosti bodu Q s přímkou q.
s-82 Důkaz.
s-83 Podle předcházejícího tvrzení můžeme rovnou předpokládat, že přímky p,q jsou totožné a že bod Q je vnitřním bodem úsečky P P , kde P je pata kolmice spuštěné z bodu P na přímku p.
s-84 Buď r souběžka přímky p vedená bodem Q (viz obr. 15).
s-85 Buď M bod ležící v té polorovině určené přímkou P P , do níž míří směr souběžnosti přímky r s přímkou p;
s-86 nechť úhel MP je stejně velký jako úhel souběžnosti bodu Q s přímkou p.
s-87 Přímky PM, r svírají s přímkou P po jedné její straně vnitřní úhly, jejichž součet je roven dvěma úhlům pravým, a tudíž se nikdy neprotnou.
s-88 Podle tvrzení 2 přímka PM není souběžkou přímky r.
s-89 Buď N bod ležící uvnitř úhlu MPQ takový, že přímka PN je souběžkou přímky r.
s-90 Přímka PN neprotne přímku r, a tedy ani přímku p.
s-91 To znamená, že souběžka přímky p vedená bodem P svírá s přímkou P P úhel nejvýše takový jako přímka PN, a tedy menší než úhel MP P .
s-92 Tvrzení 6.
s-93 Nechť q je souběžka přímky p.
s-94 Potom p je souběžka přímky q.
s-95 Důkaz.
s-96 Buď P bod ležící na přímce q, buď P pata kolmice spuštěná z bodu P na přímku p.
s-97 Dokážeme, že přímka p je souběžkou přímky q vedenou bodem P , a sice ve směru, jenž míří to téže poloroviny určené přímkou P P jako směr souběžnosti přímky q s přímkou p v bodě P.
s-98 Předpokládejme, že tomu tak není.
s-99 Potom lze v této polorovině nalézt bod m takový, že přímka P je ve směru od bodu P k bodu M souběžkou přímky q a úhel P je ostrý (viz obr. 16).
s-100 Buď R pata kolmice spuštěné z bodu M na přímku P P .

Text view • Download CoNNL-U