| s-4
| V části, která bude prezentována na pracovním semináři Teorie a počítače v geofyzice v roce # , budou uvedeny konkrétní příklady použití splinů v geofyzice. |
| s-5
| Zásluhu na stále častějším používání splinů mají jejich výhodné vlastnosti, především jednoduchost, hladkost, vlastnost minimální normy, minimální křivosti. |
| s-6
| Potřeba aproximačních funkcí s takovými vlastnostmi je v geofyzice značná. |
| s-7
| Uveďme jen několik příkladů, vzhledem k zaměření autorů jde převážně o příklady ze seismiky. |
| s-8
| Jen dostatečně hladká aproximace závislosti rychlosti seismických vln na hloubce může zabránit komplikacím při výpočtech paprskových amplitud. |
| s-9
| Podobně hodochrony a amplitudové křivky odražených vln mohou být bez komplikací určovány pouze pro dostatečně hladce aproximovaná rychlostní rozhraní. |
| s-10
| Na funkci aproximující hodochronu refragované vlny, která má být interpretována pomocí Wiechert-Herglotzovymetody, je kladena řada požadavků, které zabraňují použití řady aproximačních funkcí. |
| s-11
| Aproximace splinem se však může v mnoha případech ukázat jako vyhovující. |
| s-12
| V těchto a mnoha dalších aplikacích se ukazuje použití splinů jako výhodnější než použití jiných aproximačních metod. |
| s-13
| Výhody a nevýhody různých aproximačních metod, kritéria jejich použití a jejich vlastnosti jsou popsány v * . |
| s-14
| V * jsou zavedeny spliny, které jsou určeny pro interpolační účely. |
| s-15
| Spliny vhodné pro vyhlazování diskrétně zadaných funkčních závislostí jsou zavedeny v * . |
| s-16
| Aproximační metody jsou užívány všude tam, kde je jistá spojitá funkční závislost vyjádřena diskrétně pomocí tabulky funkčních hodnot, tam, kde pro posloupnost hodnot nezávisle proměnné jsou zadány příslušné funkční hodnoty. |
| s-17
| Nemusí jít pouze o experimentálně zjištěné závislosti, ale může jít i o některé nesnadno počitatelné funkce, transcedentní funkce nebo o závislosti zjištěné numericky, řešení diferenčních úloh. |
| s-18
| Na aproximační funkce jsou kladeny požadavky, aby byly snadno počitatelné, aby s nimi bylo možno dále operovat, aby mohly být derivovány, integrovány. |
| s-19
| Především to však musí být funkce, které minimalizují rozdíly mezi aproximovanou a aproximační funkcí. |
| s-20
| Není- li znám spojitý průběh aproximované funkce u experimentálně získaných závislostí, není obecně možné splnit takový požadavek. |
| s-21
| Naštěstí má však většinou aproximovaná funkce jisté výrazné vlastnosti, které je možné požadovat i u funkce aproximační, a tím je možné do jisté míry minimalizovat rozdíly mezi oběma funkcemi. |
| s-22
| Takovými vlastnostmi mohou být monotónnost funkce, hladkost, oscilační či neoscilační charakter. |
| s-23
| Vzhledem k požadavkům kladeným na aproximační funkce při aplikacích uvedených v * budeme posuzovat vhodnost aproximace podle toho, zda je aproximační funkce dostatečně hladká a nemá- li příliš oscilační charakter. |
| s-24
| Klasickými aproximačními funkcemi jsou polynomy. |
| s-25
| Jsou snadno počitatelné, nemají singulární body, jejich součty, rozdíly a součiny jsou opět polynomy. |
| s-26
| Jsou nezávislé na volbě počátku souřadnic a měřítka nezávisle proměnné. |
| s-27
| Díky nejpropracovanější teorii jsou užívány mnohem častěji než aproximace pomocí funkcí Fourierovy řady užívané pro aproximaci periodických funkcí, nebo pomocí funkcí užívané pro aproximaci funkcí, které mají charakter exponenciální závislosti. |
| s-28
| Při zvoleném druhu aproximační funkce je velmi důležitým krokem volba kritéria, podle kterého mají být určeny koeficienty aproximační funkce. |
| s-29
| Takovým kritériem může být požadavek, aby aproximační funkce nabývala pro hodnoty nezávisle proměnné předepsaných funkčních hodnot. |
| s-30
| Toto kritérium vede k interpolaci zadaných hodnot. |
| s-31
| V případě aproximace experimentálně získaných hodnot, které jsou určeny s jistou chybou, bude vhodnější kritérium požadavek, aby aproximační funkce procházela co nejblíže zadaným hodnotám. |
| s-32
| Podle toho, co je myšleno pod slovy ' co nejblíže zadaným hodnotám' , může jít o aproximaci založenou na metodě nejmenších čtverců nebo na metodě popsané v * . |
| s-33
| K proložení bodů, kde je třeba interpolační polynom n-tého, případně nižšího stupně. |
| s-34
| Takový polynom nabývá pro zadané hodnoty nezávisle proměnné předepsaných funkčních hodnot a má všechny derivace spojité. |
| s-35
| Právě tyto vlastnosti však mohou způsobit nežádoucí oscilace interpolační křivky. |
| s-36
| Na * a * je proložen šesti zadanými body označeny kroužky Lagrangeův interpolační polynom pátého stupně. |
| s-37
| Nežádoucí rozkmitání interpolační křivky v intervalu nezávisle proměnné na * a v * oblasti na ? je zvláště zřejmé. |
| s-38
| Potřeba odstranit nežádoucí oscilace interpolačních křivek vede k užití postupů založených na interpolaci systémů polynomů. |
| s-39
| Nejjednodušším případem je interpolace po částech, lineární. |
| s-40
| Tato metoda dává však jen velice hrubý obraz o zadané funkci. |
| s-41
| Aproximaci je možné zlepšit užitím po částech polynomiálních interpolací vyšších stupňů, nejčastěji druhého nebo třetího. |
| s-42
| Slabina většiny takových postupů spočívá však v tom, že interpolační funkce zase není dostatečně hladká, má nespojité už první derivace. |
| s-43
| Mezi postupy, které částečně odstraňují uvedený nedostatek, patří postup Akimův. |
| s-44
| Je založen na podobnosti s ručním prokládáním křivek zadanými body. |
| s-45
| Mezi každými dvěma body je určen polynom třetího stupně a to tak, že v bodech musí nabývat předepsaných hodnot a jeho první derivace musí nabývat přibližně určených hodnot a * . |
| s-46
| Postup tedy zaručuje spojitost aproximační funkce a její první derivace. |
| s-47
| První derivace v bodě je určována přibližně z hodnot * . |
| s-48
| Jiný postup byl navržen Marcinkovskou a Kasavinem. |
| s-49
| V tomto případě nejde o interpolaci, ale o jistý druh vyhlazování. |
| s-50
| Aproximační funkce je tvořena systémem parabol a je spojitá se svou první derivací. |
| s-51
| Kritériem pro určení aproximační funkce je podmínka, že v bodech musí aproximační funkce nabývat hodnot ležících v předepsaném okolí hodnoty. |
| s-52
| Uvedený způsob aproximace jsme použili k aproximaci zakřivených rychlostních rozhraní. |
| s-53
| Ukazuje se, že ani spojitost prvních derivací není ještě dostačující. |
| s-54
| Skokový charakter změny křivosti podél rozhraní aproximovaného uvedeným způsobem má za následek vznik falešných singularit v hodochronách a amplitudových křivkách odrážených vln. |
| s-55
| V obou případech, při interpolaci i při vyhlazování, se ukazuje, že požadovaných vlastností aproximační funkce lze nejlépe dosáhnout použitím splinů. |
| s-56
| V dalším se omezíme na nejčastěji užívaný druh splinů, na kubické spliny. |
| s-57
| Mezi nejdůležitější vlastnosti tohoto druhu aproximace patří právě její hladkost, spojitost do druhých derivací včetně, vlastnost minimální křivosti, obecně označována jako vlastnost minimální normy, jednoznačnost. |
| s-58
| Interpolace kubickými spliny je podrobněji popsána v * , postup při vyhlazování pomocí splinů je popsán v * . |
| s-59
| Nechť je zadáno # hodnot funkce * pro # hodnot nezávisle proměnné v intervalu * . |
| s-60
| Kubický spline interpolující na intervalu * hodnoty * je funkce * , která má následující vlastnosti. |
| s-61
| Na každém podintervalu je definována jako kubický polynom třetího stupně, pro všechna * z intervalu * nabývá funkce * předepsaných hodnot, funkce * je * , funkce * z * je spojitá na intervalu * i se svou první a druhou derivací. |
| s-62
| Při označení * lze přepsat podmínky * a * v následujícím tvaru. |
| s-63
| Po jednoduchých úpravách dostaneme z * vztahy pro určení koeficientů pomocí * , kde první poměrná diference funkce ? . |
| s-64
| Koeficienty * je třeba určit ze systému lineárních algebraických rovnic * , kde druhá poměrná diference funkce * . |
| s-65
| Systém rovnic * sestává z * rovnic pro * neznámých. |
| s-66
| Je tedy třeba systém doplnit ještě dvěma rovnicemi vážícími * neznámé. |
| s-67
| Takové rovnice dostaneme, doplníme- li podmínky * a * ještě podmínkou * . |
| s-68
| Funkce musí splňovat vztahy, kde * a * jsou předepsané hodnoty druhé derivace funkce * v bodech * . |
| s-69
| Je třeba poznamenat, že doplňující podmínky je možné zvolit i jiným způsobem. |
| s-70
| Z podmínek * dostaneme zbývající dvě rovnice. |
| s-71
| Matice soustavy lineárních algebraických rovnic * je regulární, existuje k ní matice inverzní a soustava má tedy jediné řešení. |
| s-72
| K řešení soustavy rovnic je možné užít Gaussovy eliminační metody. |
| s-73
| Zjednodušujícím faktorem je skutečnost, že matice soustavy je třídiagonální a k tomu diagonálně dominantní. |
| s-74
| Poslední vlastnost zaručuje stabilitu řešení v tom smyslu, že je maximálně potlačen vliv zaokrouhlovacích chyb při numerickém řešení soustavy. |
| s-75
| Regularita matice soustavy zaručuje pro zadaný systém hodnot a pro doplňující podmínky existenci jediného interpolačního kubického splinu. |
| s-76
| Navíc lze ukázat, že za podmínek * minimalizuje kubický spline funkcionál * na množině funkcí nabývajících pro * předepsané hodnoty. |
| s-77
| Jinými slovy, interpolační křivka odpovídající kubickému splinu s uvedenými vlastnostmi je minimálně zakřivena, její oscilace jsou minimální. |
| s-78
| Tato vlastnost je nazývána vlastností minimální normy. |
| s-79
| Kubický spline byl použit k interpolaci stejného systému bodů jako na * a * . |
| s-80
| Výsledek této interpolace je uveden na * a * . |
| s-81
| Jak už bylo poznamenáno, při aproximaci experimentálně nebo jinak získaných závislostí určených s jistou chybou je vhodnější nahradit interpolaci vyhlazením. |
| s-82
| Běžně je pro tyto účely užívána metoda nejmenších čtverců. |
| s-83
| Jindy mohou být pro podobné účely použity spliny. |
| s-84
| Vyhlazování diskrétně zadané funkční závislosti pomocí splinů má proti metodě nejmenších čtverců tu výhodu, že umožňuje zvýšit počet parametrů aproximační funkce, aniž by došlo k jejímu rozkmitání. |
| s-85
| Na základě toho, co bylo uvedeno o splinech v předchozím odstavci, je možné zformulovat úlohu pro nalezení vyhlazeného splinu následujícím způsobem. |
| s-86
| Pro * hodnot nezávisle proměnné * v intervalu * nechť je zadáno příslušných * hodnot * určených s chybou * . |
| s-87
| Vyhlazený kubický spline aproximující na intervalu * uvedenou závislost je funkce * , která má následující vlastnosti. |
| s-88
| Na každém podintervalu je definována jako kubický polynom třetího stupně. |
| s-89
| Splňuje podmínku * , kde * je předepsaná konstanta závislá na * . |
| s-90
| Obvykle se volí * v rozmezí # - # * . |
| s-91
| Případ * vede na interpolační spliny, funkce * je * , funkce * z * je spojitá na intervalu * i se svou první a druhou derivací. |
| s-92
| Minimalizuje funkcionál * na množině funkcí splňujících podmínku * . |
| s-93
| Z uvedených podmínek vyplývá, že jde o podmíněnou variační úlohu. |
| s-94
| Taková úloha vede po zavedení Lagrangeova multiplikátoru k minimalizaci funkcionálu * . |
| s-95
| V * vystupuje pomocná proměnná * , která převádí nerovnost na rovnost. |
| s-96
| Z příslušných Euler-Lagrangeovýchrovnic dostaneme řadu podmínek * pro určení funkce. |
| s-97
| Z těchto podmínek vyplývá automaticky vlastnost * a spojitost druhé derivace funkce * . |
| s-98
| Novou podmínkou je podmínka * kladená na třetí derivace funkce, kde * a * . |
| s-99
| Z podmínek spojitosti funkce * a její druhé derivace a z podmínky * dostaneme podobně jako v ? vyjádření koeficientů * pomocí * , pozor, * je také neznámá proměnná. |
| s-100
| Koeficienty * je třeba určit řešením soustavy lineárních algebraických rovnic. |
| s-101
| Matice soustavy je pětidiagonální, pro hodnoty Lagrangeova multiplikátoru * je pozitivně definitní. |
| s-102
| Úloha je za uvedených podmínek vždy řešitelná. |
| s-103
| Zbývá určit optimální hodnotu Lagrangeova multiplikátoru * . |