| s-101
| Matice soustavy je pětidiagonální, pro hodnoty Lagrangeova multiplikátoru * je pozitivně definitní. |
| s-102
| Úloha je za uvedených podmínek vždy řešitelná. |
| s-103
| Zbývá určit optimální hodnotu Lagrangeova multiplikátoru * . |
| s-104
| Minimalizace funkcionálu * vzhledem k * vede k podmínce * , což je nerovnost převedená na rovnost zavedením proměnné * . |
| s-105
| Lze ukázat, že výraz na levé straně rovnice lze vyjádřit jako funkci pouze parametru * , a tedy, že rovnici lze přepsat ve tvaru * . |
| s-106
| Minimalizace funkcionálu * vzhledem k * vede k podmínce * . |
| s-107
| Případ * může nastat jen, je- li * . |
| s-108
| Aproximační kubický spline se v tomto případě redukuje na přímku. |
| s-109
| Je- li * , musí být * , a tedy * . |
| s-110
| Lze dokázat, že z * takto vzniklá rovnice má jenom jeden kladný kořen, který lze určit Newtonovou metodou tečen. |
| s-111
| Po dosazení hodnoty * do vztahů * pro koeficienty * je již možné tyto koeficienty určit. |
| s-112
| Koeficienty * pak jsou snadno určeny vztahy * . |
| s-113
| Jiný způsob formulace úlohy pro nalezení vyhlazeného splinu je navržen v * . |
| s-114
| Vlastnosti * a * požadované na vyhlazujícím splinu zůstávají nezměněny. |
| s-115
| Rozdíl spočívá v tom, že v * není úloha formulována jako podmíněná variační úloha minimalizace funkcionálu * při současném splnění podmínky * , ale jako prostá variační úloha pro nalezení funkce minimalizující funkcionál * na množině funkcí z * . |
| s-116
| Další postup při určování vyhlazeného splinu bude obdobný jako u předchozí metody. |
| s-117
| U metody popsané v * je možné pro zadané hodnoty ovlivňovat volbou konstanty * průběh aproximační křivky. |
| s-118
| Zmenšování * vede k stále těsnějšímu přimykání aproximační křivky k zadaným bodům. |
| s-119
| Pro * přejde vyhlazený spline v interpolační spline. |
| s-120
| Se zmenšováním * se proto zvětšuje zakřivení aproximační křivky, i když na množině všech funkcí splňujících podmínku * pro danou volbu * je * minimální. |
| s-121
| U metody popsané v * není možné ovlivňovat pro * zadané hodnoty a průběh aproximační křivky. |
| s-122
| Aproximační křivka je určena jednoznačně, má minimální křivost a současně minimalizuje součet vážených kvadratických odchylek. |
| s-123
| Jde tedy vlastně o zobecnění metody nejmenších čtverců. |
| s-124
| Uvedené dva způsoby využití kubických splinů k interpolaci a vyhlazování diskrétně zadaných funkcí zdaleka nevyčerpávají všechny možnosti použití splinu. |
| s-125
| Tak je možné použít splinů k ještě obecnějšímu způsobu vyhlazování. |
| s-126
| Velmi často máme totiž co činit s vyhlazováním interpolací velkých souborů hodnot. |
| s-127
| V takových případech je neefektivní hledat stejný počet aproximačních polynomů jako je počet příslušných podintervalů, dochází k velké spotřebě strojového času ke kumulaci zaokrouhlovacích chyb. |
| s-128
| Vhodnější je proto, buď lidským zásahem, nebo automaticky rozdělit soubor do několika skupin, z nichž každá bude reprezentována jedním aproximačním polynomem. |
| s-129
| Algoritmus pro takový postup byl již navržen. |
| s-130
| Dosud uvažované způsoby jednorozměrné interpolace vyhlazování je možné zobecnit i pro dvourozměrný případ. |
| s-131
| Půjde o interpolaci vyhlazování funkčních hodnot zadaných v uzlech dvourozměrné pravoúhlé sítě pomocí dvourozměrných kubických splinů. |
| s-132
| Tento způsob aproximace se opět uplatní v řadě situací uvedených již v * pro jednorozměrný případ. |
| s-133
| Dvourozměrná interpolace vyhlazování naleznou jistě použití všude tam, kde jsou zpracovávána měření prováděná na ploše v gravimetrii, geomagnetismu, geodézii. |
| s-134
| Hladkost aproximační funkce zaručuje i hladkost příslušných izočar, proto se dvourozměrná aproximace pomocí splinů uplatní všude tam, kde bude třeba konstruovat hladké izočáry měřené veličiny. |
| s-135
| Nevyřešenou zůstává zatím otázka dvourozměrné aproximace na nepravidelné síti hodnot. |
| s-136
| Z uvedeného by se mohlo zdát, že jedinou možností použití splinů je aproximace funkcí. |
| s-137
| Ale splinů je možno užít i v mnoha jiných případech jako k numerickému diferencování a integrování funkcí, k numerickému řešení obyčejných diferenciálních rovnic nebo integrálních rovnic. |
| s-138
| Závěrem bychom chtěli poznamenat, že některé ze zmíněných způsobů aproximace kubickými spliny, jednorozměrná a dvourozměrná interpolace, jsou dnes již běžně používány. |
| s-139
| Osvědčují se při aproximaci rychlostního rozložení a seismických programech, rozhraní v programech určených pro výpočty parametrů seismických vln šířících se v nehomogenním prostředí se zakřivenými rozhraními. |
| s-140
| Příklady výpočtů provedených pomocí těchto programů budou uvedeny v příštím sborníku. |
| s-141
| Autoři děkují * Červenému za jeho cenné podněty a připomínky v průběhu přípravy tohoto příspěvku. |
| s-142
| Frekvenční analýza je široce používaná téměř ve všech geofyzikálních odvětvích. |
| s-143
| Má uplatnění při analýze variací elektromagnetického pole, při analýze slapů, v seismice, při analýze disperse povrchových vln, při studiu mechanismu zemětřesení z povrchových vln, při analýze útlumu seismických vln. |
| s-144
| Na metodách frekvenční analýzy prostorových vln jsou založeny četné speciální metody studia přechodových vrstev. |
| s-145
| Pokud se vyžaduje vedle amplitudového spektra také závislost fáze na frekvenci, používá se k analýze Fourierovy transformace. |
| s-146
| Metody spektrální analýzy jsou založeny na rozboru autokorelační funkce. |
| s-147
| Jsou proto lépe způsobilé k potlačení šumivé složky signálu, ale postrádají informaci o fázi. |
| s-148
| Diskrétní hodnoty autokorelační funkce odvozené z analýzy konečného časového intervalu dat jsou aproximací skutečných hodnot autokorelační funkce. |
| s-149
| K potlačení přítomného šumu se při výpočtu výkonového spektra nepoužívá přímo odhadů. |
| s-150
| Autokorelační funkce se násobí vahovou funkcí, takže spektrální odhad lze psát ve tvaru * , kde symbol * značí frekvenci a digitační krok. |
| s-151
| Spektrální odhad silně závisí na volbě vahové funkce. |
| s-152
| Označíme- li Fourierovu transformaci vahové funkce * , potom je * vlastně konvolucí spektrálního odhadu s vahovou funkcí * . |
| s-153
| Z hlediska věrnosti spektrálního odhadu vyplývá požadavek, aby * mělo velmi úzké pásmové spektrum. |
| s-154
| V tomto případě šum přítomný v odhadu autokorelační funkce způsobuje nestabilitu spektra. |
| s-155
| Z hlediska zvýšení stability, vyhlazení spektrálního odhadu naopak požadujeme, aby bylo nenulové v širokém frekvenčním pásu. |
| s-156
| Oba požadavky věrnosti odhadu a jeho stability jsou vzájemně protichůdné. |
| s-157
| Používá se tedy vahových funkcí, které jsou kompromisem mezi oběma požadavky. |
| s-158
| Z používaných vahových funkcí je nejjednodušší funkce Bartelettova ve tvaru rampy. |
| s-159
| Výkonové spektrum počítané s Bartelettovou funkcí je málo stabilní. |
| s-160
| Běžně se používá vahových funkcí Hanninga a Parzena. |
| s-161
| Všechny tyto funkce jsou si vzájemně podobné, liší se jen v detailech. |
| s-162
| Na * jsou jako příklad znázorněny vahové funkce Hanninga a Parzena a jejich spektra. |
| s-163
| * ukazuje rozdíly ve spektrálních odhadech při použití těchto dvou vahových funkcí. |
| s-164
| V obou srovnávacích případech byl odstraněn lineární trend. |
| s-165
| Podstatný nedostatek metod používajících vahových funkcí spočívá v tom, že tvar vahové funkce je volen bez ohledu na vlastnosti analyzovaného souboru. |
| s-166
| Tento nedostatek je odstraněn u dvou nových metod spektrálního odhadu, u spekter maximální entropie a maximální pravděpodobnosti. |
| s-167
| Pro tato spektra místo předem volených vahových funkcí je použito k potlačení šumu optimálních filtrů. |
| s-168
| Parametry těchto filtrů jsou vyjádřeny pomocí hodnot autokorelační funkce analyzovaného souboru a přizpůsobují se tedy jeho vlastnostem. |
| s-169
| Proto se těmto filtrům říká také autoadaptivní. |
| s-170
| Určit spektrum maximální entropie spočívá v úloze nalézt takovou přenosovou funkci, která by převedla časovou řadu na jednotkový impuls funkci. |
| s-171
| Je- li Fourierova transformace přenosové funkce, potom výraz značí spektrum maximální entropie. |
| s-172
| Pomocí maticové symboliky lze výkonnostní spektrum maximální entropie vyjádřit ve tvaru * , kde a značí transponovaný a komplexně sdružený sloupcový vektor. |
| s-173
| Definované vektory, přenosová funkce a vektor musí splňovat podmínku pro optimální predikační filtr, kde je matice autokorelačních koeficientů. |
| s-174
| Spektrum maximální pravděpodobnosti značí výkon pro určitou frekvenci, která projde vhodně konstruovaným optimálním filtrem. |
| s-175
| Tento filtr propouští nezkresleným způsobem frekvenci a optimálním způsobem tlumí ostatní frekvence. |
| s-176
| Spektrum maximální pravděpodobnosti můžeme psát opět ve tvaru * , kde * a * značí opět transponovaný a komplexně sdružený vektor a inversní matici autokorelačních koeficientů. |
| s-177
| Těchto dvou nových metod výpočtu spekter bylo dosud použito pouze pro krátké časové řady a ukázalo se, že mají některé významné přednosti, zejména velkou míru potlačení šumu a značnou rozlišovací schopnost. |
| s-178
| Zkusili jsme použít těchto metod při výpočtu spekter tříletých posloupností denních průměrů složek geomagnetického pole a měření na různých evropských observatořích. |
| s-179
| Účelem analýz těchto souborů hodnot je studium prostorově časového rozložení denní variace a jejích harmonických ve složkách geomagnetického pole pro oblast Evropy. |
| s-180
| Toto studium bude podkladem pro regionální hlubinnou geomagnetickou sondáž spočívající na kvantitativních výsledcích analýz z různých stanic. |
| s-181
| Do popředí se tedy dostal problém vybrat metodu spektrální analýzy, která dá spektrální rozložení minimálně zkreslené šumem a povede k sestavení vhodných filtrů na vstupní data. |
| s-182
| Pro vybrané tříleté soubory dat byly počítány čtyři druhy analýz a výsledky byly vzájemně relativně srovnány. |
| s-183
| Prvním krokem byl výpočet Fourierovy transformace doplněné jednoduchým filtrem. |
| s-184
| Dále byly soubory podrobeny power spektrální analýze s Parzenovou vahovou funkcí, spektrální analýze maximální entropie a spektrální analýze maximální pravděpodobnosti. |
| s-185
| Na * a * jsou znázorněny výsledky analýz ze dvou souborů dat, složku geomagnetického pole z observatoří Witteveen a Vídeň. |
| s-186
| Soubory se liší výběrem tříletých období. |
| s-187
| Pro Witteveen z let # se jedná o období minima sluneční, tedy i geomagnetické aktivity, naopak pro Vídeň z let # o období aktivity maximální. |
| s-188
| Spektrum z období minima aktivity je výrazné a zároveň málo členité, bylo proto vhodné pro první relativní srovnání. |
| s-189
| Hrubý průběh všech spekter je shodný. |
| s-190
| Maximální hodnoty vystupují pro periody vyšetřovaných variací kolem # až # dní a harmonické v oborech # dní a # dní, spektrální odhady se vzájemně liší v detailním uspořádání spektra a v míře odstranění šumové složky. |
| s-191
| Fourierova transformace, střed obrázku, dává spektrum značně členité s vysokou úrovní šumu, takže vyšetřovaná variace s harmonickými nevystupuje dosti výrazně. |
| s-192
| Spektrální odhad s vahovou funkcí Parzena nebo Hanninga má naopak velmi hladký průběh, detaily se však ztrácejí. |
| s-193
| Maxima odpovídají zhruba periodám maximálních hodnot z ostatních spektrálních odhadů. |
| s-194
| Vzhledem k tomu však, že jsou tato maxima široká, mohou být výsledkem dvou nebo i více maximálních hodnot a frekvenční přiřazení není přesné. |
| s-195
| Nevyloučená šumová složka zvedá dlouhoperiodickou část spektra, odstranění lineárního trendu je málo účinné. |
| s-196
| Metoda spektrální analýzy maximální pravděpodobnosti dává spektrální odhad s výrazným průběhem, maximální hodnoty se objevují ve velmi úzkých frekvenčních oborech. |
| s-197
| Rušivý vliv šumové složky je z velké části potlačen. |
| s-198
| V oboru dlouhých period, obzvláště u složky geomagnetického pole, lze pozorovat stoupající trend, na kterém je superponován detailní průběh spektra. |
| s-199
| Nejpodrobnější spektrální odhad dostáváme z analýzy metodou maximální entropie. |
| s-200
| Detailní rozložení umožňuje zde určit přesně frekvenci maximálních hodnot. |