| s-1
| Десять лет назад американский математик Томас Хейлс доказал наконец сформулированную еще в 1611 году гипотезу Кеплера и отправил статью в научный журнал. |
| s-2
| Ответ пришел через четыре года. |
| s-3
| 'Рецензенты приложили беспрецедентные усилия', - писал Хейлсу редактор журнала. |
| s-4
| Они не нашли ни одной ошибки. |
| s-5
| 'Но удостоверить корректность доказательства в целом они не смогли и в будущем тоже не смогут, потому что сил на эту задачу у них больше нет', - заключил редактор. |
| s-6
| Статья все же вышла. |
| s-7
| Таким образом, доказательство было принято, но, можно сказать, без гарантии: 265 страниц текста и 40 000 строчек компьютерного кода никто так и не проверил полностью. |
| s-8
| В математике такое случается все чаще. |
| s-9
| 'Большая часть 'простых' доказательств давно найдена', - объясняет главный программист корпорации Intel Джон Харрисон. |
| s-10
| Самые впечатляющие достижения последних лет - это чрезвычайно длинные доказательства. |
| s-11
| Беда не только в размере, но и в сложности: математика становится все более специализированной. |
| s-12
| 'Мы радостно заявляем, что Великая теорема Ферма доказана, - говорит Роберт Хант из Кембриджа. |
| s-13
| - Но понять ее доказательство во всем мире может горстка людей'. |
| s-14
| По мнению Ханта, ни в какой другой науке такая ситуация невозможна. |
| s-15
| Эйнштейну не верили, что лучи света искривляются под воздействием гравитации, пока это не подтвердили эксперименты. |
| s-16
| Уотсону и Крику не верили, что в клетках всех живых существ есть ДНК, пока с этим не согласилось множество других биологов. |
| s-17
| А в математике приходится полагаться на мнение нескольких экспертов или, хуже того, как в случае с Хейлсом, фактически только на самого автора. |
| s-18
| Харрисон, Хейлс и некоторые другие математики уверены, что эту проблему можно решить - с помощью так называемых формальных доказательств (ФД). |
| s-19
| Им посвящен декабрьский выпуск журнала Notices of the American Mathematical Society. |
| s-20
| ФД - это очень подробное доказательство, записанное на формальном языке, который понятен и человеку, и компьютеру. |
| s-21
| Таким образом, цепочку рассуждений может проверять машина, которая делает это быстро и безошибочно. |
| s-22
| У ФД есть и практическое применение. |
| s-23
| 'Мы живем в мире чудовищно сложных технологий, которые нам все труднее контролировать, - говорит Хейлс. |
| s-24
| - С помощью нового инструмента можно убедиться, что в компьютерных программах нет багов, что компьютерное железо работает правильно и что лежащая в основе всего этого математика безошибочна'. |
| s-25
| Фрейк Видайк из голландского Университета Радбауд в Неймегене считает, что в математике было три революции. |
| s-26
| Первую совершили древние греки в IV веке до н.э. - они ввели понятие доказательства. |
| s-27
| Вторая произошла в XIX веке, когда исследователи придали математике необходимую строгость. |
| s-28
| Третья - введение ФД - идет сейчас. |
| s-29
| ЧТО ЕСТЬ ИСТИНА? |
| s-30
| С доказательствами в математике все не так просто. |
| s-31
| Даже найти определение понятию 'доказательство' - серьезная проблема. |
| s-32
| Профессор мехмата МГУ Владимир Успенский предлагает формулировку: 'Доказательство - это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убедить других'. |
| s-33
| В математике формального определения доказательства нет. |
| s-34
| 'Признание доказательств зависит от того, насколько они убеждают отдельных математиков', - соглашается Джон Харрисон. |
| s-35
| Представления об убедительности меняются с ходом истории. |
| s-36
| Это затрагивает и математику. |
| s-37
| Успенский приводит три примера: Древний Египет, Древнюю Грецию и средневековую Индию. |
| s-38
| В Египте - централизованном теократическом государстве с непререкаемым авторитетом фараона и жрецов - непререкаемым авторитетом обладало и любое написанное слово. |
| s-39
| Написано - значит верно. |
| s-40
| На египетских папирусах записано, как вычислять площади фигур, но безо всяких обоснований. |
| s-41
| В маленьких полисах демократической Греции ораторы убеждали сограждан своими речами. |
| s-42
| Именно в Греции берут начало дисциплины, основанные на рассуждениях, - юриспруденция и математика. |
| s-43
| А в Индии главным источником знания считалось внутреннее озарение. |
| s-44
| Чтобы убедить собеседника в истинности теоремы, надо, чтобы он испытал такое озарение. |
| s-45
| Поэтому индийские доказательства представляли собой чертеж с подписью 'Смотри!'. |
| s-46
| Сейчас идут горячие споры, можно ли считать корректными многие доказательства XVIII-XIX веков. |
| s-47
| А через несколько столетий, по мнению Фрейка Видайка, математики не будут считать точным то, что не было доказано с помощью ФД. |
| s-48
| КОМЕДИЯ ОШИБОК. |
| s-49
| Как показывает опыт, проверка доказательств действительно необходима. |
| s-50
| Книга про ошибки крупных математиков, сделанные до 1900 года, насчитывает 130 страниц. |
| s-51
| 'Сейчас бы понадобился том побольше, а то и специальный журнал', - считает Харрисон. |
| s-52
| 'Бывает, доказательство опубликовали, признали, лет 15 прошло, человеку уже и премию какую-нибудь успели дать, а тут вдруг выясняется, что оно неправильное', - подтверждает лауреат премии Филдса (самая известная премия в математике) Владимир Воеводский из принстонского Института передовых исследований. |
| s-53
| В 1993 году Эндрю Уайлс объявил, что доказал Великую теорему Ферма, которой, наверное, принадлежит абсолютный рекорд по числу неправильных доказательств. |
| s-54
| Уайлс быстро понял, что и его доказательство ошибочно. |
| s-55
| В 1994-м он устранил свою ошибку, и теперь доказательство Уайлса считается правильным, хотя проверили его лишь несколько человек. |
| s-56
| 'Расплывчатый социальный процесс, которым сейчас является проверка доказательств, выглядит еще более пугающим, если вспомнить, что математика применяется в реальном мире', - говорит Харрисон. |
| s-57
| То, что самолеты не падают сплошь и рядом, - прямое следствие точного математического расчета. |
| s-58
| Ученые, правда, затрудняются привести примеры, когда на практике применялась ошибочная математическая теорема. |
| s-59
| Но некоторые из теорем, которым люди уже нашли практическое применение, не доказаны. |
| s-60
| 'Люди пользуются гипотезами на свой страх и риск', - говорит Хейлс. |
| s-61
| Так, например, для анализа сложности алгоритмов шифрования и дешифровки используется недоказанная гипотеза Римана. |
| s-62
| Даже если предположить, что интуиция подводит математиков нечасто и неверные теоремы никто не использует, ФД все равно имеют огромное прикладное значение. |
| s-63
| Эти методы применимы не только к математическим теоремам, но и, например, к компьютерным программам. |
| s-64
| Подсчитано, что готовые программы содержат в среднем одну ошибку на сто строчек кода. |
| s-65
| Эти ошибки могут обойтись очень дорого. |
| s-66
| В 1996 году взорвалась ракета 'Ариан-5'. |
| s-67
| Компьютерный баг стоил Европейскому космическому агентству $0,5 млрд. |
| s-68
| А двумя годами раньше корпорация Intel была вынуждена отозвать целую серию своих процессоров. |
| s-69
| Ошибку, кстати, обнаружил математик. |
| s-70
| Подобных случаев можно избежать, если компьютерные программы будут проверяться с той же точностью, что и самые надежные из математических доказательств. |
| s-71
| МЕХАНИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА. |
| s-72
| Доказательство - это последовательность утверждений, в которой каждое утверждение вытекает из предыдущего. |
| s-73
| Это значит, что математику, прочитавшему предыдущее утверждение, должно быть понятно, почему верно и следующее. |
| s-74
| А вдруг он ошибся? |
| s-75
| В ФД 'вытекает из предыдущего' означает, что утверждение автоматически выводится из предыдущего по строгим правилам, которые понятны машине. |
| s-76
| А это значит, что ФД могут проверяться не человеком, а компьютером. |
| s-77
| И компьютер не ошибется: несложную программу проверки ФД легко довести до совершенства вручную. |
| s-78
| Каждое утверждение в ФД - это набор символов из алфавита формального языка. |
| s-79
| Есть ряд правил, которые разрешают заменять определенные последовательности символов на другие. |
| s-80
| Такие замены позволяют из одного утверждения получать другое. |
| s-81
| Это можно условно сравнить с умножением чисел в столбик. |
| s-82
| Заучив формальный алгоритм, любой человек сможет перемножать числа абсолютно правильно, даже если вообще ничего не знает об арифметике. |
| s-83
| Так и с ФД: любой математик проверит доказательство даже из той области, в которой он не разбирается. |
| s-84
| Такая проверка - очень долгий и кропотливый механический процесс, но важно, что она в принципе возможна. |
| s-85
| И главное, доступна компьютерной программе. |
| s-86
| От людей требуется создать подходящий формальный язык и программу, которая умеет проверять записанные на нем доказательства. |
| s-87
| Это непросто, но возможно. |
| s-88
| Уже есть несколько таких программ. |
| s-89
| Фрейк Видайк отслеживает, сколько теорем из '100 величайших' (условный список, составленный на рубеже тысячелетий) уже доказаны с помощью ФД. |
| s-90
| На момент выхода данной статьи - 81: теорема Пифагора, иррациональность корня из двух, бесконечность простых чисел, площадь круга и многие другие. |
| s-91
| Сотой в очереди стоит Великая теорема Ферма. |
| s-92
| Самый трудоемкий процесс - перевести доказательство в формальный вид. |
| s-93
| Уже подсчитано, что оно в среднем удлиняется в четыре раза, а формализация одной страницы университетского учебника занимает около недели. |
| s-94
| Ведь ни один шаг нельзя пропустить, ни одно утверждение нельзя объявить очевидным или интуитивно понятным, все нужно записать максимально подробно. |
| s-95
| В конечном итоге доказательство должно опираться на аксиомы. |
| s-96
| Это главная причина непопулярности формальных доказательств среди математиков. |
| s-97
| Многие считают, что перевести основы современной математики в формальный вид не удастся никогда - слишком много труда требует этот нетворческий процесс. |
| s-98
| Томаса Хейлса это не пугает. |
| s-99
| Он так и не смирился с тем, что математическое сообщество не смогло нормально проверить его доказательство гипотезы Кеплера. |
| s-100
| В 2003 году Хейлс начал записывать свое доказательство на формальном языке. |